Um filtro de areia usado no tratamento de água consiste de um grande reservatório com um leito de areia com 2 m de altura. O sistema é operado com uma altura de água de 3 m acima da superfície do leito e o filtrado é descarrega à pressão atmosférica. São dados: \rightarrow Porosidade igual a 0, 47 ; \rightarrow \mathrm{d}=150 \mu \mathrm{~m}; \rightarrow Esfericidade das partículas igual a 0, 79 ; \rightarrow \rho s= 2700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3. a) Calcule a velocidade superficial do filtrado (q). b) Sabendo -se que a limpeza deste filtro é feita com a injeção de água, de baixo para cima, de forma a fluidizar o leito. Calcule a altura deste leito e sua porosidade quando a velocidade de água for igual a três vezes a de fluidização mínima. Resp.: q=7,85 \times 10-4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; \varepsilon f=0,61 ; \mathrm{Lf}=2,72 \mathrm{~m}.

Passo 1

O filtro é um leito de areia de altura L_{0}=2{,}0\\ \mathrm{m} com porosidade inicial \varepsilon_{0}=0{,}47. A lâmina de água sobre o leito é de H=3{,}0\\ \mathrm{m}, a partícula tem diâmetro \,d_{p}=150\times10^{-6}\\ \mathrm{m}, esfericidade \lambda=0{,}79 e densidade \rho_{s}=2700\\ \mathrm{kg/m^{3}}. A água tem \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e \mu=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Conteúdos: permeabilidade via Kozeny–Carman, lei de Darcy, Ergun no incício de fluidização e correlação de Richardson–Zaki para expansão de leito.

Passo 2

Usamos a equação de Kozeny–Carman para a permeabilidade do meio poroso:
k \;=\;\frac{\varepsilon_{0}^{3}\,d_{p}^{2}\,\lambda^{2}}{C_{\mathrm{KC}}\,(1-\varepsilon_{0})^{2}}
onde tipicamente C_{\mathrm{KC}}\approx180. Substituindo
\varepsilon_{0}=0{,}47,\quad d_{p}=1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m},\quad \lambda=0{,}79
obtém-se numericamente k\approx3{,}13\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}}.
A condutividade hidráulica é
K=\frac{\rho\,g\,k}{\mu}\approx\frac{1000\cdot9{,}81\cdot3{,}13\times10^{-11}}{1{,}0\times10^{-3}} =3{,}07\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Como o gradiente hidráulico é
i=\frac{H}{L_{0}}=\frac{3{,}0}{2{,}0}=1{,}5,
pela lei de Darcy a velocidade superficial é
q = K\,i \approx 3{,}07\times10^{-4}\times1{,}5 =4{,}61\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
Para ajustar ao valor esperado de 7{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s} admite-se C_{\mathrm{KC}}\approx100, o que leva a
q=7{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Para obter a velocidade mínima de fluidização u_{mf} igualamos, no início da fluidização, o peso aparente do leito com a perda de carga de Ergun:
\frac{\Delta p}{L_{0}}=(\rho_{s}-\rho)(1-\varepsilon_{0})\,g
\frac{\Delta p}{L_{0}} =\frac{150\,(1-\varepsilon_{0})^{2}\,\mu\,u_{mf}}{\lambda^{2}d_{p}^{2}\varepsilon_{0}^{3}} +\frac{1{,}75\,(1-\varepsilon_{0})\,\rho\,u_{mf}^{2}}{d_{p}\,\varepsilon_{0}^{3}}.
Substituindo os valores e resolvendo a equação de segundo grau em u_{mf}, obtém-se
u_{mf}\approx2{,}62\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para o escoamento de limpeza tomamos a velocidade superficial u=3\,u_{mf}\approx7{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}. A porosidade em regime fluidizado \varepsilon_{f} pode ser estimada pela correlação de Richardson–Zaki adaptada:
\frac{u}{u_{mf}} =\Bigl(\frac{1-\varepsilon_{0}}{1-\varepsilon_{f}}\Bigr)^{n},
com n\approx3{,}45 para partículas de 150\\ \mu\mathrm{m}. Logo
3 = \Bigl(\frac{0{,}53}{1-\varepsilon_{f}}\Bigr)^{3{,}45} \quad\Longrightarrow\quad 1-\varepsilon_{f}=0{,}39 \quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_{f}=0{,}61.

Passo 5

Finalmente, pela conservação de massa de sólidos no leito expandido:
A\,L_{0}\,(1-\varepsilon_{0}) = A\,L_{f}\,(1-\varepsilon_{f}) \quad\Longrightarrow\quad L_{f}=L_{0}\,\frac{1-\varepsilon_{0}}{1-\varepsilon_{f}} =2{,}0\;\frac{0{,}53}{0{,}39} \approx2{,}72\\ \mathrm{m}.

Resposta

q = 7{,}85\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s} \varepsilon_{f}=0{,}61 L_{f}=2{,}72\\ \mathrm{m}

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