3- ( 25 pontos) Encontre a massa da lâmina que é a porção do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z=4 se a densidade for de<a(x, y, z)=x^2 z.

Passo 1

O enunciado pede a massa da lâmina dada pela porção do cone ;z=raizx^2+y^2; entre os planos ;z=1 e ;z=4, com densidade de<a(x,y,z)=x^2z. Esse problema usa o conceito de integral de superfície para calcular
massa = integral duplaS de<a(x,y,z),dS

Passo 2

Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas:
x=rcostheta, y=rsintheta, z=r,
com domínio
1<= r<= 4, 0<=theta<= 2pi

Passo 3

Expressamos a densidade no parámetro (r,theta):
de<a(r,theta) = x^2z = (rcostheta)^2,r = r^3cos^2theta

Passo 4

Calculamos o elemento de área dS. Das derivadas parciais
rr=(costheta,;sintheta,;1), rtheta=(-rsintheta,;rcostheta,;0),
vem
|rrtimesrtheta|=rraiz2,
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dS = rraiz2,dr,dtheta

Passo 5

Montamos a integral da massa:
massa =integraltheta=0^2piintegralr=1^4 l(r^3cos^2thetar),l(rraiz2r),dr,dtheta = raiz2,integral0^2picos^2theta,dtheta integral1^4r^4,dr

Passo 6

Calculamos separadamente as integrais:
integral0^2picos^2theta,dtheta=pi, integral1^4r^4,dr=4^5-1^55=10235
Portanto
massa = raiz2,pi,10235 = 1023raiz2,pi5

Resposta

boxedmassa = 1023raiz2,pi5

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