3- ( 25 pontos) Encontre a massa da lâmina que é a porção do cone
entre os planos
e
se a densidade for
.
Passo 1
O enunciado pede a massa da lâmina dada pela porção do cone
; entre os planos
e
, com densidade
. Esse problema usa o conceito de integral de superfície para calcular
Passo 2
Parametrizamos o cone em coordenadas cilíndricas:
com domínio
Passo 3
Expressamos a densidade no parámetro
:
Passo 4
Calculamos o elemento de área
. Das derivadas parciais
vem
logo
Passo 5
Montamos a integral da massa:
Passo 6
Calculamos separadamente as integrais:
Portanto