Seja
é contínua em
x=0 ?
f é diferenciável em
x=0 ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para verificar se
f é contínua e diferenciável em
x=0 . Vamos usar as definições de continuidade (
limxto0f(x)=f(0) ) e de derivada em um ponto
Passo 2
Para simplificar, note que para
E como em , a função fica
Passo 3
Para testar continuidade em
0 , calculamos os limites laterais:
Como ambos dão
0 e
f(0)=0 , conclui-se que
portanto
f é contínua em
x=0 .
Passo 4
Para ver se
f é diferenciável em
0 , usamos
Se
h>0 , então
f(h)=h e
logo
limhto0^+f(h)-f(0)h=1 .
Seh<0 , então
f(h)=-h e
Se
logo
limhto0^-f(h)-f(0)h=-1 .
Como esses dois limites não coincidem, o limite total não existe ef'(0) não existe.
Como esses dois limites não coincidem, o limite total não existe e