Seja f(x)=llx^2|x|, & se x neq 0, 2 x, & se x=0 f é contínua em x=0 ? f é diferenciável em x=0 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracx^2lvert xrvert, & xneq 0,[6pt] 2x, & x=0,
e pede para verificar se f é contínua e diferenciável em x=0. Vamos usar as definições de continuidade ( limxto0f(x)=f(0)) e de derivada em um ponto
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h ]

Passo 2

Para simplificar, note que para
E como em , a função fica

Passo 3

Para testar continuidade em 0, calculamos os limites laterais:
limxto0^+f(x)=limxto0^+x=0,
limxto0^-f(x)=limxto0^-(-x)=0
Como ambos dão 0 e f(0)=0, conclui-se que
limxto0f(x)=f(0),
portanto f é contínua em x=0.

Passo 4

Para ver se f é diferenciável em 0, usamos
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h
Se h>0, então f(h)=h e
f(h)-f(0)h=h-0h=1,
logo limhto0^+f(h)-f(0)h=1.
Se h<0, então f(h)=-h e
f(h)-f(0)h=-h-0h=-1,
logo limhto0^-f(h)-f(0)h=-1.
Como esses dois limites não coincidem, o limite total não existe e f'(0) não existe.

Resposta

f é contínua em x=0, mas não é diferenciável em x=0.

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