(6,0) Classifique as equações abaixo quanto ao tipo, a ordem e a linearidade e resolvas-as pelo método que achar mais apropriado:
y^{\prime}-\frac{4}{x} y=x^{5} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - 4x,y = x^5 e^x
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e não homogênea. Vamos resolvê-la pelo método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(x) como
mu(x) = exp!l(integral -tfrac4x,dxr) = exp(-4ln x) = x^-4

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x)=x^-4, obtendo
x^-4y' - 4x,x^-4y = x^-4,x^5 e^x ;Longrightarrow; ddxl(x^-4yr) = x e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^-4y = integral x e^x,dx + C = (x-1)e^x + C,
onde usamos integral x e^x,dx = x e^x - e^x.

Passo 5

Isolamos y:
y = x^4l((x-1)e^x + Cr) = x^4(x-1)e^x + C,x^4

Resposta

y(x) = x^4(x-1)e^x + C,x^4,
onde C é a constante arbitrária da integração.

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