(25 pontos) Uma esfera ốca de raio interno r=0,5 \mathrm{~m} e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade \rho_{M}=4,0 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ela encontra-se em equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade \rho_{L}=3,5 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) (05 pontos) Determine o raio externo R da esfera.
(b) ( 10 pontos) Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.
(c) ( 10 pontos) Determine o volume externo da esfera.

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera oca com raio interno r=0,5\:\mathrm{m} e raio externo R desconhecido, feita de material de densidade \rho_M = 4{,}0\times10^3\:\mathrm{kg/m^3}. A esfera fica em equilíbrio totalmente submersa num líquido de densidade \rho_L = 3{,}5\times10^3\:\mathrm{kg/m^3}. Para resolver, usaremos o Princípio de Arquimedes (empuxo igual ao peso) e as fórmulas de volume de esfera.

Passo 2

O peso da esfera vale o produto da massa pelo peso específico g. A massa é a densidade do material vezes o volume da casca:
W = m\,g \quad\text{com}\quad m = \rho_M \,V_{\text{casca}} \quad\text{e}\quad V_{\text{casca}} = \frac{4}{3}\pi\bigl(R^3 - r^3\bigr).
Logo,
W = \rho_M\,g\,\frac{4}{3}\pi\bigl(R^3 - r^3\bigr).

Passo 3

O empuxo E é igual ao peso do líquido deslocado, isto é,
E = \rho_L\,g\,V_{\text{deslocado}} \quad\text{com}\quad V_{\text{deslocado}} = V_{\text{externo}} = \frac{4}{3}\pi R^3.
Portanto,
E = \rho_L\,g\,\frac{4}{3}\pi R^3.

Passo 4

Em equilíbrio submerso temos E = W. Cancelando g e \tfrac{4}{3}\pi em ambos os lados:
\rho_L\,R^3 \;=\;\rho_M\bigl(R^3 - r^3\bigr) \;\Longrightarrow\; \rho_L\,R^3 = \rho_M\,R^3 - \rho_M\,r^3 \;\Longrightarrow\; R^3(\rho_M - \rho_L) = \rho_M\,r^3 \;\Longrightarrow\; R^3 = \frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L}\,r^3.
Substituindo \rho_M = 4{,}0\times10^3, \rho_L = 3{,}5\times10^3 e r=0,5\:\mathrm{m},
\frac{\rho_M}{\rho_M - \rho_L} = \frac{4{,}0\times10^3}{(4{,}0-3{,}5)\times10^3} = \frac{4{,}0}{0{,}5} = 8,
logo R^3 = 8\,r^3 e
R = 8^{1/3}\,r = 2\,r = 2\times0{,}5\:\mathrm{m} = 1{,}0\:\mathrm{m}.

Passo 5

O empuxo numérico é
E = \rho_L\,g\,\frac{4}{3}\pi R^3 = 3{,}5\times10^3\:\mathrm{kg/m^3}\;\times9{,}8\:\mathrm{m/s^2}\;\times\frac{4}{3}\pi(1{,}0)^3\:\mathrm{m^3}.
Calculando,
V_{\text{externo}} = \frac{4}{3}\pi(1{,}0)^3 \approx 4{,}1888\:\mathrm{m^3},
E \approx 3{,}5\times10^3 \times9{,}8 \times4{,}1888 \approx 1{,}44\times10^5\:\mathrm{N}.

Passo 6

O volume externo da esfera é
V_{\text{externo}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi(1{,}0)^3 = \frac{4}{3}\,\pi \approx 4{,}19\:\mathrm{m^3}.

Resposta

(a) R = 1{,}0\:\mathrm{m}.
(b) E \approx 1,44\times10^5\:\mathrm{N}.
(c) V_{\text{externo}} = \tfrac{4}{3}\pi \approx 4,19\:\mathrm{m^3}.

Exercícios relacionados