(25 pontos) Uma esfera ốca de raio interno r=0,5 \mathrm{~m} e raio externo R (a ser determinado) é feita de um material de densidade \rho_{M}=4,0 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ela encontra-se em equilíbrio quando totalmente submersa em um líquido de densidade \rho_{L}=3,5 \cdot 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) ( 10 pontos) Determine o volume externo da esfera.
(b) ( 10 pontos) Determine o módulo do empuxo exercido pelo líquido sobre a esfera.
(c) ( 05 pontos) Determine o raio externo R da esfera.

Passo 1

O enunciado descreve uma casca esférica oca de raio interno r=0{,}5\\ \mathrm{m} e raio externo R desconhecido, feita de material de densidade \rho_{M}=4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Ela fica em equilíbrio totalmente submersa em um líquido de densidade \rho_{L}=3{,}5\times10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Para resolver precisamos do Princípio de Arquimedes (empuxo igual ao peso) e das fórmulas de volume de esfera.

Passo 2

Em equilíbrio, o empuxo F_{e} iguala o peso P da casca. Pelo Princípio de Arquimedes:
F_{e}=\rho_{L}\,V_{\text{ext}}\,g
e o peso é
P=\rho_{M}\,(V_{\text{ext}}-V_{\text{int}})\,g.
Como F_{e}=P, cancelamos g e obtemos
\rho_{L}\,V_{\text{ext}} =\rho_{M}\,\bigl(V_{\text{ext}}-V_{\text{int}}\bigr).

Passo 3

O volume interno e externo da esfera são
V_{\text{int}}=\tfrac{4}{3}\pi r^{3}, \quad V_{\text{ext}}=\tfrac{4}{3}\pi R^{3}.
Da equação \rho_{L}V_{\text{ext}}=\rho_{M}(V_{\text{ext}}-V_{\text{int}}) segue
(\rho_{M}-\rho_{L})\,V_{\text{ext}} =\rho_{M}\,V_{\text{int}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{ext}} =\frac{\rho_{M}}{\rho_{M}-\rho_{L}}\;V_{\text{int}}.
Substituindo \rho_{M}=4{,}0\times10^{3}, \rho_{L}=3{,}5\times10^{3} e V_{\text{int}}=\tfrac{4}{3}\pi(0{,}5)^{3}, nota-se que \rho_{M}/(\rho_{M}-\rho_{L})=8. Logo
V_{\text{ext}} =8\;\frac{4}{3}\,\pi\,(0{,}5)^{3} =\frac{4}{3}\,\pi\,(1{,}0)^{3} = \tfrac{4}{3}\,\pi\approx4{,}19\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 4

O módulo do empuxo é
F_{e} =\rho_{L}\,V_{\text{ext}}\,g =3{,}5\times10^{3}\times4{,}18879\times9{,}8 \approx1,44\times10^{5}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Para determinar R, igualamos
V_{\text{ext}} =\tfrac{4}{3}\pi R^{3} = \tfrac{4}{3}\pi\,(1{,}0)^{3},
logo
R=1{,}0\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) V_{\text{ext}}=\tfrac{4}{3}\pi\,(1{,}0)^{3}\approx4{,}19\\ \mathrm{m^{3}}.
(b) F_{e}\approx1{,}44\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
(c) R=1{,}0\\ \mathrm{m}.

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