1. Em um determinado instante um objeto é abandonado de uma altura H do solo e 2,0 segundos mais tarde, outro objeto é abandonado de uma altura h, 120 metros abaixo de H. Determine o valor de H, em m, sabendo que os dois objetos chegam juntos ao solo. Considere \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}.

Passo 1

O enunciado trata de queda livre: um primeiro objeto é abandonado do topo a uma altura H num instante t=0 e cai com aceleração \,g=10\rm\,m/s^2. Dois segundos depois ( t=2 s), um segundo objeto é abandonado de uma altura h=H-120 e também cai livremente. Sabemos que os dois chegam juntos ao solo. Vamos usar as equações do movimento uniformemente acelerado para relacionar os tempos e as alturas.

Passo 2

Para o primeiro objeto, lançado de repouso em t=0, o tempo de queda até o solo é t_1 e satisfaz
H = \tfrac12\,g\,t_1^2.
Como g=10\rm\,m/s^2, temos
t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2H}{10}} = \sqrt{\frac{H}{5}}.

Passo 3

O segundo objeto é largado em t=2 s, cai em tempo t_2 de modo que chega junto com o primeiro, ou seja, t_2 = t_1 - 2. Sua altura inicial é h = H - 120, e por queda livre vale
H - 120 = \tfrac12\,g\,(t_1 - 2)^2 = 5\,(t_1 - 2)^2.

Passo 4

Substituindo t_1 = \sqrt{H/5} na equação do segundo objeto, obtemos
H - 120 = 5\Bigl(\sqrt{\tfrac{H}{5}} - 2\Bigr)^{2}.
Para simplificar, defina x = \sqrt{\tfrac{H}{5}}. Então H = 5x^2 e a equação vira
5x^2 - 120 = 5\,(x - 2)^2.
Dividindo por 5:
x^2 - 24 = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Cancelando x^2 em ambos os lados:
-24 = -4x + 4 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 28 \quad\Longrightarrow\quad x = 7.

Passo 5

Voltando em H = 5x^2, temos
H = 5 \times 7^2 = 5 \times 49 = 245.

Resposta

245 m

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