1. (25 pontos) Faça o Diagrama de Bode, magnitude e fase, de um sistema LIT cuja função de transferência é dada pela equação abaixo:
H(s)=\frac{25 s}{(s+0,1)\left(s^{2}+3 s+25\right)}

Passo 1

O enunciado pede o diagrama de Bode (magnitude e fase) do sistema LIT cuja função de transferência é
H(s)=\frac{25\,s}{(s+0,1)\,\bigl(s^2+3\,s+25\bigr)}.
Conteúdo: uso de diagramas de Bode, fatoração em termos padrão (zeros, polos de primeira e segunda ordem), montagem dos assintóticos de magnitude e fase.

Passo 2

Fatoramos H(s) em termos padrões:
H(s) =25\;\frac{s}{s+0,1}\;\frac{1}{s^2+3\,s+25}.
– Ganho estático K=25.
– Zero simples na origem s=0.
– Polo de primeira ordem em s=-0,1 \omega_1=0,1.
– Polo de segunda ordem em s^2+3s+25: frequência natural
\omega_n=\sqrt{25}=5,
e fator de amortecimento
\zeta=\frac{3}{2\,\omega_n}=\frac{3}{10}=0,3.
Cada fator contribui ao diagrama de Bode com sua assintótica padrão.

Passo 3

Construção do diagrama de magnitude (em dB):
  1. Escrevemos
20\log_{10}|H(j\omega)| =20\log_{10}25 +20\log_{10}\omega -20\log_{10}\bigl|\!j\omega+0,1\bigr| -20\log_{10}\bigl|-\omega^2+25+3j\omega\bigr|.
  1. Frequências de canto e slopes assintóticos:
  • Para \omega<0,1, só aparece o zero na origem ⇒ slope +20,dB/dec.
  • Em \omega=0,1 surge o polo de 1ª ordem ⇒ soma–20,dB/dec, de modo que de 0,1 a 5 a slope líquida é +20-20=0,dB/dec.
  • Em \omega=5 surge o polo de 2ª ordem ⇒ mais -40,dB/dec, de modo que para \omega>5 a slope líquida é -40,dB/dec.
  1. Pontos de referência (valores exatos aproximados):
    – Em \omega=0,1:
|H(j0,1)|=\frac{25\cdot0,1}{\sqrt{(0,1+0,1)^2}\,\sqrt{(25-0,01)^2+(3\cdot0,1)^2}} \approx0,5\quad\Rightarrow\;-6,0\text{ dB}.
– Em \omega=5:
|H(j5)|=\frac{25\cdot5}{5,1\cdot\sqrt{(25-25)^2+(3\cdot5)^2}} =\frac{125}{5,1\cdot15}\approx1,63\quad\Rightarrow\;4,2\text{ dB}.
  1. Esboço assintótico de magnitude:
  • De \omega=10^{-2} a 10^{-1}: inicia em 20,dB/dec até atingir -6,dB em \omega=0,1.
  • De 0,1 a 5: slope 0,dB/dec, reta horizontal de -6 dB até atingir 4,2 dB em \omega=5.
  • Acima de 5: slope -40,dB/dec.

Passo 4

Construção do diagrama de fase (em graus):
  1. Ângulo total
\angle H(j\omega) = \underbrace{0}_{\angle25} + \underbrace{90^\circ}_{\angle j\omega} -\underbrace{\arctan\!\bigl(\tfrac{\omega}{0,1}\bigr)}_{\text{polo 1ª ordem}} -\underbrace{\arctan\!\Bigl(\frac{3\,\omega}{25-\omega^2}\Bigr)}_{\text{polo 2ª ordem}}.ªª
  1. Assintótico de fase:
  • Para \omega\ll0,1: \arctan(\omega/0,1)\approx0, \arctan(3\omega/(25-\omega^2))\approx0 \varphi\approx90^\circ.
  • Em \omega=0,1: \arctan(1)=45^\circ, segunda parte ≈ 0,7^\circ \varphi\approx90-45-0,7\approx44^\circ.
  • Em \omega=1: \arctan(10)\approx84^\circ, \arctan(3/24)\approx7^\circ \varphi\approx90-84-7\approx-1^\circ.
  • Em \omega=5: \arctan(50)\approx89^\circ, \arctan(\infty)\approx90^\circ \varphi\approx90-89-90\approx-89^\circ.
  • Para \omega\gg5: primeiro termo → -90^\circ, segundo → -180^\circ \varphi\to90-90-180=-180^\circ.
  1. Em termos de décadas:
  • Transição do polo de 1ª ordem: de 0{,}01 a 1 rad/s (de 0\circ a – 90\circ).
  • Transição do polo de 2ª ordem: de 0{,}5 a 50 rad/s (de 0\circ a – 180\circ).
    Acrescenta-se sempre +90\circ fixos pelo zero na origem.

Resposta

Diagrama de Bode assintótico de H(s):
Magnitude:
  • \omega<0,1: slope +20 dB/dec, passa por -6 dB em \omega=0,1.
  • 0,1<\omega<5: slope 0 dB/dec, reta de -6 a 4,2 dB.
  • \omega>5: slope –40 dB/dec.
Fase:
  • \omega\ll0,1: \varphi\approx+90^\circ.
  • \omega=0,1: \varphi\approx+44^\circ.
  • \omega=1: \varphi\approx-1^\circ.
  • \omega=5: \varphi\approx-89^\circ.
  • \omega\gg5: \varphi\to-180^\circ.

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