Questão 6) Considere um sistema massa-mola formado por uma massa m_{1} e uma mola de constante elástica k. O sistema encontra-se fixado verticalmente e uma segunda massa, m_{2}, é solta com velocidade inicial nula de uma altura h acima da massa m_{1}. A massa m_{2} colide inelasticamente com a massa m_{1}. formando um sistema com massa m_{1}+m_{2}. Sendo g a aceleração local da gravidade, mostre que o movimento oscilatório subsequente do sistema massa-mola é dado pela seguinte expressão:
y(t)=\frac{m_{2} g}{k}-\frac{m_{2} g}{k} \cos \left(\sqrt{\frac{k}{m_{1}+m_{2}}} t\right)+m_{2} \sqrt{\frac{2 g h}{\left(m_{1}+m_{2}\right) k}} \sin \left(\sqrt{\frac{k}{m_{1}+m_{2}}} t\right)

Passo 1

O enunciado descreve um sistema massa-mola vertical com uma massa inicial m_{1} em equilíbrio estático na mola de constante k. A uma altura h acima dessa massa, soltamos a massa m_{2} (velocidade inicial nula), que cai, atinge m_{1} e cola-se a ela inelasticamente. Depois da colisão, o conjunto m_{1}+m_{2} oscila sob ação elástica da mola e da gravidade g. Para resolver precisamos de: conservação de energia no trecho de queda, conservação de quantidade de movimento na colisão inelástica e resolução da EDO do oscilador com força gravitacional.

Passo 2

Antes da colisão, m_{2} cai de repouso de altura h. Pela conservação de energia mecânica:
m_{2} g h = \tfrac12\,m_{2} v_{\text{pré}}^{2}é
Logo a velocidade de m_{2} ao chegar em m_{1} é
v_{\text{pré}} = \sqrt{2 g h}.é

Passo 3

Na colisão inelástica, m_{2} com velocidade v_{\text{pré}}é une-se a m_{1} em repouso. Pela conservação de quantidade de movimento:
m_{2}\,v_{\text{pré}} = (m_{1}+m_{2})\,v_{0},é
de onde
v_{0} = \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\,\sqrt{2 g h}.
Esse é o valor de \dot y(0) logo após a colisão.

Passo 4

Escolhemos y medido para baixo a partir da posição de equilíbrio estático de m_{1} sozinho, de modo que em y=0 a mola equilibra m_{1} e k\,x_{\rm eq1}=m_{1}g. Após a colisão, a massa total é M=m_{1}+m_{2}. As forças atuantes (sinal positivo para baixo) são o peso M g e a força elástica k(x_{\rm eq1}+y). Usa-se
M\,\ddot y = M g - k\bigl(x_{\rm eq1}+y\bigr)
e como k\,x_{\rm eq1}=m_{1}g obtemos a EDO
(m_{1}+m_{2})\,\ddot y + k\,y = m_{2}\,g.

Passo 5

A EDO é não homogênea com termo constante. A solução geral é soma da particular y_{p}=\tfrac{m_{2}g}{k} e da homogênea de frequência \omega=\sqrt{\tfrac{k}{m_{1}+m_{2}}}:
y(t) = A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)+\frac{m_{2}g}{k}.
Impondo as condições iniciais logo após a colisão, em t=0: y(0)=0 \implies A + \tfrac{m_{2}g}{k}=0 \implies A=-\tfrac{m_{2}g}{k}. \dot y(0)=v_{0}=\tfrac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\sqrt{2gh} e \dot y(t)= -A\,\omega\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t)
\dot y(0)=B\,\omega \quad\Longrightarrow\quad B=\frac{v_{0}}{\omega} =\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\frac{\sqrt{2g h}}{\sqrt{\tfrac{k}{m_{1}+m_{2}}}} = m_{2}\,\sqrt{\frac{2g h}{(m_{1}+m_{2})\,k}}.

Passo 6

Substituindo A e B na solução geral:
y(t) =\,-\frac{m_{2}g}{k}\cos(\omega t) + m_{2}\sqrt{\frac{2gh}{(m_{1}+m_{2})k}}\;\sin(\omega t) +\frac{m_{2}g}{k}.

Resposta

y(t) =\frac{m_{2}g}{k} -\frac{m_{2}g}{k}\cos\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m_{1}+m_{2}}}\,t\Bigr) + m_{2}\sqrt{\frac{2gh}{(m_{1}+m_{2})k}}\, \sin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{k}{m_{1}+m_{2}}}\,t\Bigr).

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