Questão 6) Considere um sistema massa-mola formado por uma massa
e uma mola de constante elástica
. O sistema encontra-se fixado verticalmente e uma segunda massa,
, é solta com velocidade inicial nula de uma altura
acima da massa
. A massa
colide inelasticamente com a massa
. formando um sistema com massa
. Sendo
a aceleração local da gravidade, mostre que o movimento oscilatório subsequente do sistema massa-mola é dado pela seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado descreve um sistema massa-mola vertical com uma massa inicial
em equilíbrio estático na mola de constante
. A uma altura
acima dessa massa, soltamos a massa
(velocidade inicial nula), que cai, atinge
e cola-se a ela inelasticamente. Depois da colisão, o conjunto
oscila sob ação elástica da mola e da gravidade
. Para resolver precisamos de: conservação de energia no trecho de queda, conservação de quantidade de movimento na colisão inelástica e resolução da EDO do oscilador com força gravitacional.
Passo 2
Antes da colisão,
cai de repouso de altura
. Pela conservação de energia mecânica:
Logo a velocidade de
ao chegar em
é
Passo 3
Na colisão inelástica,
com velocidade
une-se a
em repouso. Pela conservação de quantidade de movimento:
de onde
Esse é o valor de
logo após a colisão.
Passo 4
Escolhemos
medido para baixo a partir da posição de equilíbrio estático de
sozinho, de modo que em
a mola equilibra
e
. Após a colisão, a massa total é
. As forças atuantes (sinal positivo para baixo) são o peso
e a força elástica
. Usa-se
e como
obtemos a EDO
Passo 5
A EDO é não homogênea com termo constante. A solução geral é soma da particular
e da homogênea de frequência
:
Impondo as condições iniciais logo após a colisão, em
:
.
e
dá
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral: