Questão 2) Um sistema dinâmico linear é representado pela seguinte Função de Transferência:
H(s)=\frac{10}{(s+3)\left(s^{2}+3 s+2\right)}
Escreva H(s) na forma de frações parciais:
H(s)=\frac{R_{1}}{s-s_{1}}+\frac{R_{2}}{s-s_{2}}+\frac{R_{3}}{s-s_{3}},
sendo s_{1}, s_{2} e s_{3} os pólos, e R_{1}, R_{2} e R_{2} os resíduos do sistema. Determine a Função de Resposta ao Impulso utilizando a seguinte expressão:
y(t)=\sum_{n} R_{n} e^{s_{n} t}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
H(s)=\frac{10}{(s+3)\bigl(s^{2}+3s+2\bigr)}
e pede (1) escrever H(s) na forma de frações parciais com polos s_{1},s_{2},s_{3} e resíduos R_{1},R_{2},R_{3} e (2) obter a resposta ao impulso
y(t)=\sum_{n=1}^{3}R_{n}e^{s_{n}t}.
Vamos usar decomposição em frações parciais e a transformada de Laplace inversa.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2),
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H(s)=\frac{10}{(s+3)(s+2)(s+1)}.
Os polos são
s_{1}=-3,\quad s_{2}=-2,\quad s_{3}=-1.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais como
H(s)=\frac{R_{1}}{s+3}+\frac{R_{2}}{s+2}+\frac{R_{3}}{s+1}.
Para encontrar cada R_{n}, usamos o método do cover-up (avaliar em s=-s_{n}).

Passo 4

Cálculo dos resíduos:
  • Em s=-3:
R_{1}=\left.\frac{10}{(s+2)(s+1)}\right|_{s=-3} =\frac{10}{(-3+2)(-3+1)} =\frac{10}{(-1)(-2)}=5.
  • Em s=-2:
R_{2}=\left.\frac{10}{(s+3)(s+1)}\right|_{s=-2} =\frac{10}{(-2+3)(-2+1)} =\frac{10}{(1)(-1)}=-10.
  • Em s=-1:
R_{3}=\left.\frac{10}{(s+3)(s+2)}\right|_{s=-1} =\frac{10}{(-1+3)(-1+2)} =\frac{10}{(2)(1)}=5.

Passo 5

Logo a decomposição completa é
H(s)=\frac{5}{s+3}-\frac{10}{s+2}+\frac{5}{s+1}.

Passo 6

A resposta ao impulso y(t) é a soma das inversas de cada termo:
y(t) =5\,e^{-3t}-10\,e^{-2t}+5\,e^{-t}.

Resposta

H(s)=\displaystyle\frac{5}{s+3}-\frac{10}{s+2}+\frac{5}{s+1} y(t)=5e^{-3t}-10e^{-2t}+5e^{-t}

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