( 30 pontos) Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justitifique sua resposta.
(a) (F) Todo espaço vetorial tem dimensão finita.
(b) (F.) Os únicos subespaços vetoriais de R^2 são R^2,0 e as retas passando pela origem.
(c) (F) É possível encontrar um gerador de P(R) com finitos elementos.
(d) (V) A união de dois subespaços vetoriais U1 e U2 de V também é um subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para cada afirmação sobre espaços vetoriais decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O conteúdo envolvido inclui definição de dimensão de um espaço vetorial, caracterização de subespaços de R^2, geradores (bases) de espaços vetoriais e propriedades de união de subespaços.

Passo 2

Afirmação (a): “Todo espaço vetorial tem dimensão finita.”
Definição: a dimensão de um espaço vetorial V é o número de vetores de uma base de V.
Contraexemplo: o espaço P(R) de todos os polinômios em uma variável sobre R não admite base finita, pois polinômios de grau arbitrariamente alto exigem mais vetores para gerar o espaço.
Conclusão: a afirmação é falsa (F).

Passo 3

Afirmação (b): “Os únicos subespaços vetoriais de R^2 são R^2, 0 e as retas passando pela origem.”
Teorema: todo subespaço de dimensão 0 é 0, de dimensão 2 é R^2 e de dimensão 1 é uma reta que passa pela origem.
Conclusão: a afirmação é verdadeira (V).

Passo 4

Afirmação (c): “É possível encontrar um gerador de P(R) com finitos elementos.”
Definição: um gerador finito seria uma base finita. Mas P(R) é infinito–dimensional (não há número finito de polinômios gerando todos os graus).
Conclusão: a afirmação é falsa (F).

Passo 5

Afirmação (d): “A união de dois subespaços vetoriais U1 e U2 de V também é um subespaço vetorial.”
Teste de subespaço requer fechar sob soma: se uin U1setminus U2 e vin U2setminus U1, então u+v pode não pertencer nem a U1 nem a U2.
Exemplo: em R^2, seja U1 o eixo Ox e U2 o eixo Oy. Então (1,0)in U1 e (0,1)in U2, mas (1,1)notin U1cup U2.
Conclusão: a afirmação é falsa (F).

Resposta

(a) F
(b) V
(c) F
(d) F

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