( 30 pontos) Decida, em cada um dos casos abaixo, se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Justitifique sua resposta.
(a) (F) Todo espaço vetorial tem dimensão finita.
(b) (F.) Os únicos subespaços vetoriais de
são
e as retas passando pela origem.
(c) (F) É possível encontrar um gerador de
com finitos elementos.
(d)
A união de dois subespaços vetoriais
e
de
também é um subespaço vetorial.
(a) (F) Todo espaço vetorial tem dimensão finita.
(b) (F.) Os únicos subespaços vetoriais de
(c) (F) É possível encontrar um gerador de
(d)
Passo 1
O enunciado pede para cada afirmação sobre espaços vetoriais decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar. O conteúdo envolvido inclui definição de dimensão de um espaço vetorial, caracterização de subespaços de
, geradores (bases) de espaços vetoriais e propriedades de união de subespaços.
Passo 2
Afirmação (a): “Todo espaço vetorial tem dimensão finita.”
Definição: a dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores de uma base de
.
Contraexemplo: o espaço de todos os polinômios em uma variável sobre
não admite base finita, pois polinômios de grau arbitrariamente alto exigem mais vetores para gerar o espaço.
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Definição: a dimensão de um espaço vetorial
Contraexemplo: o espaço
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Passo 3
Afirmação (b): “Os únicos subespaços vetoriais de
são
,
e as retas passando pela origem.”
Teorema: todo subespaço de dimensão 0 é , de dimensão 2 é
e de dimensão 1 é uma reta que passa pela origem.
Conclusão: a afirmação é verdadeira (V).
Teorema: todo subespaço de dimensão 0 é
Conclusão: a afirmação é verdadeira (V).
Passo 4
Afirmação (c): “É possível encontrar um gerador de
com finitos elementos.”
Definição: um gerador finito seria uma base finita. Mas é infinito–dimensional (não há número finito de polinômios gerando todos os graus).
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Definição: um gerador finito seria uma base finita. Mas
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Passo 5
Afirmação (d): “A união de dois subespaços vetoriais
e
de
também é um subespaço vetorial.”
Teste de subespaço requer fechar sob soma: se e
, então
pode não pertencer nem a
nem a
.
Exemplo: em , seja
o eixo
e
o eixo
. Então
e
, mas
.
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Teste de subespaço requer fechar sob soma: se
Exemplo: em
Conclusão: a afirmação é falsa (F).
Resposta
(a) F
(b) V
(c) F
(d) F
(b) V
(c) F
(d) F