[25% dos pontos] A partir da fórmula de redução/recursão da Parte (1), e mais particularmente a partir do resultado das Partes (2a) e (2b), calcule S_{7}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{7} x d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular \;S_{7}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{7}x\,dx
e, da Parte (1), sabemos a fórmula de redução
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.
Das Partes (2a) e (2b) temos os valores iniciais \;S_{0}=\frac{\pi}{2} e \;S_{1}=1.

Passo 2

Aplicando a redução para n=3,
S_{3}=\frac{3-1}{3}\,S_{1} =\frac{2}{3}\cdot1 =\frac{2}{3}.

Passo 3

Agora para n=5,
S_{5}=\frac{5-1}{5}\,S_{3} =\frac{4}{5}\cdot\frac{2}{3} =\frac{8}{15}.

Passo 4

Finalmente para n=7,
S_{7}=\frac{7-1}{7}\,S_{5} =\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{15} =\frac{48}{105} =\frac{16}{35}.

Resposta

\;S_{7}=\frac{16}{35}.

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