Se definimos
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{n} x d x \text { para } n=0,1,2, \ldots
  • Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que
S_{n}=\frac{n-1}{n} S_{n-2} \text { para } n \geq 2 .

Passo 1

O enunciado define
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx
e pede para provar, usando o que foi obtido na Parte 1 (isto é, o método de redução por partes), que para n\ge2 vale
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
S_{n}=\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx.
Escolhemos
u=\sin^{n-1}x, \quad dv=\sin x\,dx.
Então
du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx, \quad v=-\cos x.
A fórmula dá
S_{n} =\Bigl[u\cdot v\Bigr]_{0}^{\pi/2} -\int_{0}^{\pi/2}v\,du =-\Bigl[\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} +(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx.

Passo 3

Avaliaremos o termo de fronteira: em x=\pi/2 temos \sin^{n-1}(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0; em x=0 temos \sin(0)=0. Logo
-\Bigl[\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2}=0
e sobra
S_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2 x\,dx.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica \cos^2 x=1-\sin^2 x dentro do integrando:
S_{n} =(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\bigl(1-\sin^2 x\bigr)\,dx =(n-1)\Bigl[\underbrace{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\,dx}_{=S_{n-2}} -\underbrace{\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx}_{=S_{n}}\Bigr].
Portanto
S_{n}=(n-1)\bigl(S_{n-2}-S_{n}\bigr).

Passo 5

Isolando S_{n} na última igualdade, temos
S_{n}=(n-1)S_{n-2}-(n-1)S_{n} \quad\Longrightarrow\quad S_{n}+(n-1)S_{n}=(n-1)S_{n-2} \quad\Longrightarrow\quad n\,S_{n}=(n-1)S_{n-2}.
Dividindo ambos os lados por n, conclui-se
S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2},
como pedido.

Resposta

S_{n}=\frac{n-1}{n}\,S_{n-2},\quad n\ge2.

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