Parte 2) [ \mathbf{2 5 \%} dos pontos] Se definimos
S_{n}=\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{n} x d x \text { para } n=0,1,2, \ldots
  • Parte 2a: Prove, a partir da Parte 1, que S_{n}=\frac{n-1}{n} S_{n-2} para n \geq 2.
  • Parte 2b: Calcule o valor da integral simples, para n=1, S_{1}= \square

Passo 1

O enunciado define
S_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}x\,dx,\quad n=0,1,2,\ldots
e pede duas coisas: na Parte 2a, provar a fórmula de redução
S_{n} = \frac{n-1}{n}\,S_{n-2}\quad(n\ge2),
usando resultados de parte anterior; na Parte 2b, calcular S_{1}.

Passo 2

Para a Parte 2a, aplicamos integração por partes em
S_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}x\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n-1}x\;\sin x\,dx.
Escolhemos \displaystyle u = \sin^{n-1}x e \displaystyle dv = \sin x\,dx,
de onde \displaystyle du = (n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx e \displaystyle v = -\cos x.

Passo 3

A integração por partes dá
S_{n} = \Bigl[-\sin^{n-1}x\cos x\Bigr]_{0}^{\pi/2} + (n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx.
O termo de fronteira vale zero porque em x=0 ou x=\pi/2 cai um fator \cos x ou \sin^{n-1}x nulo. Então
S_{n} = (n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\,(1-\sin^{2}x)\,dx = (n-1)\bigl(S_{n-2}-S_{n}\bigr).
Reagrupando, obtemos
n\,S_{n} = (n-1)\,S_{n-2} \quad\Longrightarrow\quad S_{n} = \frac{n-1}{n}\,S_{n-2}.

Passo 4

Para a Parte 2b, basta calcular
S_{1} = \int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx.
Uma primitiva de \sin x é -\cos x, logo
S_{1} = \bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{\pi/2} = \bigl(-\cos(\tfrac{\pi}{2})\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) = 0 - (-1) = 1.

Resposta

S_{n} = \frac{n-1}{n}\,S_{n-2},\quad n\ge2
S_{1} = 1

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