( 25 pontos) Um pedaço de madeira com 0,60 metros de comprimento, 0,25 metros de largura e 0,08 metros de espessura é colocado deitado dentro da água. A densidade dessa madeira é 700 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) ( 05 pontos) Qual é a espessura da madeira que fica para fora da água?
(b) ( 10 pontos) Um bloco de chumbo ( Pb ) é então colocado em cima do bloco da madeira. Qual teria que ser a massa desse bloco de chumbo para que a parte superior da madeira ficasse no nível da água?
(c) ( 10 pontos) Se esse mesmo bloco de chumbo fosse agora fixado embaixo da madeira, qual seria a altura da madeira que ficaria para fora da água?

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de madeira de comprimento 0,60,m, largura 0,25,m e espessura 0,08,m, com densidade \rho_{\text{m}}=700,kg/m³, colocado em água (densidade \rho_{\ell}=1000,kg/m³). Vamos usar o Princípio de Arquimedes, que diz que a força de empuxo vale o peso do fluido deslocado, e equilibrar empuxo e peso para determinar as alturas submersa e exposta.

Passo 2

Primeiro, calculamos a massa da madeira: o volume do bloco é
V_{\text{m}} = 0{,}60 \times 0{,}25 \times 0{,}08 = 0{,}012\\ \text{m}^3
então
m_{\text{m}} = \rho_{\text{m}}\,V_{\text{m}} = 700 \times 0{,}012 = 8{,}4\\ \text{kg}.
Em equilíbrio sem carga adicional, o volume submerso V_{\text{sub}} satisfaz
\rho_{\ell}\,V_{\text{sub}}\,g = m_{\text{m}}\,g \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{sub}} = \frac{m_{\text{m}}}{\rho_{\ell}} = \frac{8{,}4}{1000} = 0{,}0084\\ \text{m}^3.
A área da base é
A = 0{,}60 \times 0{,}25 = 0{,}15\\ \text{m}^2,
logo a altura submersa é
h_{\text{sub}} = \frac{V_{\text{sub}}}{A} = \frac{0{,}0084}{0{,}15} = 0{,}056\\ \text{m},
e a espessura que fica fora d’água é
h_{\text{fora}} = 0{,}08 - 0{,}056 = 0{,}024\\ \text{m}.

Passo 3

Para a parte (b), colocamos um bloco de chumbo sobre a madeira de modo que a face superior da madeira fique exatamente no nível da água. Nesse caso, todo o volume da madeira V_{\text{m}} está submerso e o chumbo não desloca água (pois fica acima). O empuxo é
E = \rho_{\ell}\,V_{\text{m}}\,g = 1000 \times 0{,}012\,g = 12\,g\\ \text{(N/kg)}.
Esse empuxo sustenta o peso da madeira mais o peso do chumbo:
12 = m_{\text{m}} + m_{\text{Pb}} \quad\Longrightarrow\quad m_{\text{Pb}} = 12 - 8{,}4 = 3{,}6\\ \text{kg}.

Passo 4

Para a parte (c), o mesmo bloco de chumbo ( m_{\text{Pb}}=3{,}6,kg) é fixado abaixo da madeira. Agora tanto a madeira quanto o chumbo deslocam água: o chumbo desloca volume V_{\text{Pb}}=m_{\text{Pb}}/\rho_{\text{Pb}} (com \rho_{\text{Pb}}=11340,kg/m³) e a madeira desloca A\,(0{,}08 - h_{\text{fora}}). O equilíbrio de empuxo e peso é
\rho_{\ell}\Bigl[A\,(0{,}08 - h_{\text{fora}})+\frac{m_{\text{Pb}}}{\rho_{\text{Pb}}}\Bigr]\,g = (m_{\text{m}} + m_{\text{Pb}})\,g.
Substituindo valores:
A\,(0{,}08 - h_{\text{fora}}) = \frac{12}{1000} - \frac{3{,}6}{11340} = 0{,}012 - 0{,}0003174 = 0{,}0116826\\ \text{m}^3,
0{,}08 - h_{\text{fora}} = \frac{0{,}0116826}{0{,}15} = 0{,}077884\\ \text{m},
h_{\text{fora}} = 0{,}08 - 0{,}077884 = 0{,}002116\\ \text{m}\approx 2{,}12\\ \text{mm}.

Resposta

(a) 0,024,m
(b) 3,6,kg
(c) 0,00212,m (aprox.)

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