( 25 pontos) Um recipiente contém 2 moles de gás nobre hélio (\mathrm{He}) a 30^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que o hélio é monoatômico, determine:
(a) (05 pontos) A velocidade média quadrática \left(v_{\mathrm{mq}}\right) dos átomos desse gás.
(b) ( 05 pontos) A velocidade mais provável ( v_{\mathrm{mp}} ) de se encontrar um átomo de Hélio nesse gás.
(c) (O5 pontos) A energia cinética média dos átomos do gás.
(d) ( 10 pontos) A energia interna total do gás.

Passo 1

O enunciado dá um gás hélio monoatômico, com n=2 mol a 30^\circ\mathrm{C}. Vamos tratar como gás ideal e usar:
– Temperatura absoluta \displaystyle T = 30^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 303{,}15\\ \mathrm{K}.
– Constante dos gases ideais \displaystyle R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
– Constante de Boltzmann \displaystyle k = 1{,}38\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K}.
– Massa de uma molécula de hélio: massa molar M=4{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}, logo
m = \frac{M}{N_A} =\frac{4{,}00\times10^{-3}}{6{,}02\times10^{23}} \approx6{,}64\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
Precisaremos das fórmulas do modelo cinético para monoatômicos:
v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}},\quad v_{\mathrm{mp}}=\sqrt{\frac{2kT}{m}},\quad \langle K\rangle=\tfrac{3}{2}kT,\quad U=\tfrac{3}{2}nRT.

Passo 2

Calcular a velocidade média quadrática \displaystyle v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}.
Primeiro, aplicando números:
\frac{3RT}{M} =\frac{3\cdot8{,}314\cdot303{,}15}{4{,}00\times10^{-3}} \approx1{,}89\times10^{6}\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Logo
v_{\mathrm{rms}} =\sqrt{1{,}89\times10^{6}} \approx1{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular a velocidade mais provável
v_{\mathrm{mp}} =\sqrt{\frac{2kT}{m}}.
Substituindo
\frac{2kT}{m} =\frac{2\cdot1{,}38\times10^{-23}\cdot303{,}15}{6{,}64\times10^{-27}} \approx1{,}26\times10^{6},
portanto
v_{\mathrm{mp}} =\sqrt{1{,}26\times10^{6}} \approx1{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Calcular a energia cinética média por átomo
\langle K\rangle =\tfrac{3}{2}kT =\tfrac{3}{2}\cdot1{,}38\times10^{-23}\cdot303{,}15 \approx6{,}28\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia interna total do gás
U=\tfrac{3}{2}nRT =\tfrac{3}{2}\cdot2\cdot8{,}314\cdot303{,}15 \approx7{,}57\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) v_{\mathrm{rms}}\approx1{,}37\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
(b) v_{\mathrm{mp}}\approx1{,}12\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
(c) \langle K\rangle\approx6{,}28\times10^{-21}\\ \mathrm{J}.
(d) U\approx7{,}57\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

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