Mostre que a auto-indutância L de um toróide de seção retangular é dada por 2 \pi L=\mu_{0} N^{2} h \ln b / a, sendo N o número de voltas de fio, a o raio interno, b o raio externo e h a altura do toróide.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a auto-indutância L de um toroide de seção retangular, com número de voltas N, raio interno a, raio externo b e altura h. O conteúdo que vamos usar é magnetostática: Lei de Ampère para achar o campo magnético \mathbf{B} dentro do toroide e definição de indutância via fluxo magnético ligado.

Passo 2

Para um caminho circular de raio r (com a\le r\le b) dentro do toroide, a Lei de Ampère diz que
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_{0} I_\text{enc}.
Como cada volta carrega corrente I e há N voltas, I_\text{enc}=N I. Pelo simetria, \mathbf{B} é tangencial e constante em cada círculo de raio r, logo
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}N I \quad\Longrightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0}N I}{2\pi r}.

Passo 3

O fluxo magnético por uma única espira é
\Phi = \int_{\text{seção}} B(r)\,dA.çã
Na seção retangular, dA = h\,dr e r varia de a a b. Assim,
\Phi = \int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}N I}{2\pi r}\;h\,dr =\frac{\mu_{0}N I\,h}{2\pi}\int_{a}^{b}\frac{dr}{r} =\frac{\mu_{0}N I\,h}{2\pi}\ln\!\frac{b}{a}.

Passo 4

Como há N espiras ligadas, a ligação de fluxo total é
\lambda = N\,\Phi = \frac{\mu_{0}N^{2} I\,h}{2\pi}\ln\!\frac{b}{a}.

Passo 5

Pela definição de indutância, \lambda = L\,I. Igualando as expressões em I,
L\,I = \frac{\mu_{0}N^{2} I\,h}{2\pi}\ln\!\frac{b}{a} \quad\Longrightarrow\quad L = \frac{\mu_{0}N^{2} h}{2\pi}\ln\!\frac{b}{a}.

Resposta

2\pi\,L = \mu_{0}\,N^{2}\,h\,\ln\!\frac{b}{a}.

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