Escolha uma das funções especiais definidas abaixo e faça o seu gráfico com pelo menos 100 valores de x no intervalo
. A seguir, calcule a função nos pontos pedidos, com precisão de 6 casas decimais.
Função cosseno integral:
onde
é o número de Euler. Calcule
e
.
Função cosseno integral:
Passo 1
O enunciado pede para trabalhar com a função cosseno integral
em que
. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
) geração de um vetor de pelo menos
valores de
uniformemente distribuídos em
,
) cálculo numérico da integral
para cada
, por exemplo usando regra de Simpson ou trapézio com subdivisões finas. Depois plotamos
versus
. Finalmente, extraímos os valores de
e
com precisão de seis casas decimais.
Passo 2
Para o gráfico, definimos
com
. Em seguida, para cada
aproximamos
usando regra de Simpson em
subintervalos (por exemplo
, garantindo
par). O valor aproximado de
fica
Passo 3
Detalhe da aplicação da regra de Simpson em
: para evitar a singularidade aparente em
, notamos que
logo a integral é bem-comportada. Podemos começar a soma em
(por exemplo
) e tratar o trecho
por expansão em série, ou simplesmente usar
pequeno e subdividir igualmente até
. Em código, algo como:
import numpy as np
from math import cos
def \(Ci_num\)(x, N\(=2000\), eps\(=1\)e-\(6\)):
\(a=e\)ps; \(b=x\)
h\(=\)(b-a)/N
s \(=\) (cos(a)-\(1\))/a \(+\) (cos(b)-\(1\))/b
for k in range(\(1\), N):
t \(=\) a \(+\) k*h
coef \(=4\) if k%\(2\) else \(2\)
s \(+=\) coef*(cos(t)-\(1\))/t
I \(=\) h/\(3\)*s
return \(0.5772156649015328+\) np.log(x) \(+\) I
Depois geramos o vetor
x \(=\) np.linspace(\(0.1\),\(10,100\))
e Ci \(=\) [\(Ci_num\)(xi) for xi in x]
, e fazemos o plot usual.Passo 4
Usando a mesma rotina de integração, calculamos com maior resolução para os pontos de interesse:
- Para
usamos e . - Para
idem.
Em Python, por exemplo:
c_05 = Ci_num(0.5, N=10000, eps=1e-8)
c_55 = Ci_num(5.5, N=10000, eps=1e-8)
E formatamos com seis casas decimais:
print(f"Ci(0.5) = {c_05:.6f}")
print(f"Ci(5.5) = {c_55:.6f}")
Passo 5
Executando o código obtemos numericamente:
ambos arredondados a seis casas decimais.
Resposta
Ci(
)
-
Ci( )
Ci(