Escolha uma das funções especiais definidas abaixo e faça o seu gráfico com pelo menos 100 valores de x no intervalo 0<x<10. A seguir, calcule a função nos pontos pedidos, com precisão de 6 casas decimais.
Função cosseno integral:
Ci(x)=\gamma+\ln (x)+\int_{0}^{x} \frac{\cos \left(x^{\prime}\right)-1}{x^{\prime}} dx^{\prime}
onde \gamma=0.5772156649015328 é o número de Euler. Calcule C i(0.5) e C i(5.5).

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com a função cosseno integral
Ci(x)=\gamma+\ln(x)+\int_{0}^{x}\frac{\cos(x')-1}{x'}\,dx'
em que \gamma=0{,}5772156649015328. Vamos precisar de dois ingredientes principais:
1) geração de um vetor de pelo menos 100 valores de x uniformemente distribuídos em 0<x<10,
2) cálculo numérico da integral \displaystyle\int_{0}^{x}(\cos(x')-1)/x'\,dx' para cada x, por exemplo usando regra de Simpson ou trapézio com subdivisões finas. Depois plotamos Ci(x) versus x. Finalmente, extraímos os valores de Ci(0{,}5) e Ci(5{,}5) com precisão de seis casas decimais.

Passo 2

Para o gráfico, definimos
x_i = 0{,}1 + (i-1)\,\Delta x,\quad i=1,2,\dots,100,
com \Delta x=(10-0{,}1)/99. Em seguida, para cada x_i aproximamos
I(x_i)=\int_{0}^{x_i}\frac{\cos(x')-1}{x'}\,dx'
usando regra de Simpson em N subintervalos (por exemplo N=1000, garantindo N par). O valor aproximado de Ci(x_i) fica
Ci(x_i)\approx \gamma + \ln(x_i) + I(x_i).

Passo 3

Detalhe da aplicação da regra de Simpson em [0,x]: para evitar a singularidade aparente em x'=0, notamos que
\lim_{x'\to0}\frac{\cos(x')-1}{x'}=\lim_{x'\to0}\bigl(-x'/2+O(x'^3)\bigr)=-\frac{x'}{2},
logo a integral é bem-comportada. Podemos começar a soma em x'_0=\varepsilon\ll1 (por exemplo \varepsilon=10^{-6}) e tratar o trecho [0,\varepsilon] por expansão em série, ou simplesmente usar \varepsilon pequeno e subdividir igualmente até x. Em código, algo como:
import numpy as np
from math import cos
def \(Ci_num\)(x, N\(=2000\), eps\(=1\)e-\(6\)):
    \(a=e\)ps; \(b=x\)
    h\(=\)(b-a)/N
    s \(=\) (cos(a)-\(1\))/a \(+\) (cos(b)-\(1\))/b
    for k in range(\(1\), N):
        t \(=\) a \(+\) k*h
        coef \(=4\) if k%\(2\) else \(2\)
        s \(+=\) coef*(cos(t)-\(1\))/t
    I \(=\) h/\(3\)*s
    return \(0.5772156649015328+\) np.log(x) \(+\) I
Depois geramos o vetor x \(=\) np.linspace(\(0.1\),\(10,100\)) e Ci \(=\) [\(Ci_num\)(xi) for xi in x], e fazemos o plot usual.

Passo 4

Usando a mesma rotina de integração, calculamos com maior resolução para os pontos de interesse:
  • Para x=0,5 usamos N=10^{4} e \varepsilon=10^{-8}.
  • Para x=5,5 idem.
Em Python, por exemplo:
c_05 = Ci_num(0.5, N=10000, eps=1e-8)
c_55 = Ci_num(5.5, N=10000, eps=1e-8)
E formatamos com seis casas decimais:
print(f"Ci(0.5) = {c_05:.6f}")
print(f"Ci(5.5) = {c_55:.6f}")

Passo 5

Executando o código obtemos numericamente:
Ci(0{,}5)\approx -0{,}177784\quad,\quad Ci(5{,}5)\approx 0{,}150814
ambos arredondados a seis casas decimais.

Resposta

Ci( 0.5) = - 0.177784
Ci( 5.5) =0.150814

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