Calcule os limites
lim x infty(3 x+33 x)^2 x+3

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite de (3x + 33x)^2x + 3 quando x tende ao infinito. Esse exercício envolve conceitos de limites e funções exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões e aplicar o conhecimento sobre limites de forma exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite:
3x + 33x = 3x3x + 33x = 1 + 1x
Então, o limite fica:
limx to infty (1 + 1x)^2x + 3

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão (1 + 1x)^2x + 3. Sabemos que:
limx to infty (1 + 1x)^x = e
onde e é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828.

Passo 4

Reescrevendo a nossa expressão, podemos separar o expoente:
(1 + 1x)^2x + 3 = ((1 + 1x)^x)^2 cdot (1 + 1x)^3
Sabemos que (1 + 1x)^x tende a e quando x vai para o infinito. Portanto:
((1 + 1x)^x)^2 to e^2
E (1 + 1x)^3 tende a 1, já que 1x vai para zero.

Passo 5

Multiplicando as duas partes que encontramos:
e^2 cdot 1 = e^2
Portanto, o limite é:

Resposta

e^2

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