(1,25 pontos) Seja V=\mathbb{R}^{2}. Verifique se o subconjunto S=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; y=2 x\right\} do \mathbb{R}^{2} é um subspaço do \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado diz que V=\mathbb{R}^2 e que
S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y=2x\}.
Precisamos verificar se S é subespaço de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
  1. O vetor zero deve estar em S.
  2. S deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0) pertence a S.
Para (0,0) temos y=0 e 2x=2\cdot 0=0. Logo 0=2\cdot 0, então (0,0)\in S.

Passo 3

Verificar fechamento em relação à soma.
Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2) em S. Então
y_1 = 2x_1 \quad\text{e}\quad y_2 = 2x_2.
A soma é
\mathbf{u}+\mathbf{v} = (x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Como y_1+y_2 = 2x_1 + 2x_2 = 2(x_1+x_2), o vetor \mathbf{u}+\mathbf{v} satisfaz a equação y=2x. Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\in S.

Passo 4

Verificar fechamento em relação ao produto escalar.
Para \mathbf{u}=(x_1,y_1)\in S e escalar \alpha\in\mathbb{R}, temos y_1=2x_1. Então
\alpha\mathbf{u} = (\alpha x_1,\;\alpha y_1)
e \alpha y_1 = \alpha(2x_1)=2(\alpha x_1). Logo \alpha\mathbf{u} também satisfaz y=2x, ou seja, \alpha\mathbf{u}\in S.

Passo 5

Como S contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^2. Além disso, nota-se que
S = \text{span}\{(1,2)\},
ou seja, S é a reta de dimensão 1 gerada por (1,2).

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^2.

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