(1,25 pontos) Seja
. Verifique se o subconjunto
do
é um subspaço do
.
Passo 1
O enunciado diz que
e que
Precisamos verificar se
é subespaço de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço:
- O vetor zero deve estar em
. -
deve ser fechado sob soma de vetores. -
deve ser fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificar se o vetor zero
pertence a
.
Para temos
e
. Logo
, então
.
Para
Passo 3
Verificar fechamento em relação à soma.
Sejam e
em
. Então
Sejam
A soma é
Como
, o vetor
satisfaz a equação
. Portanto
.
Passo 4
Verificar fechamento em relação ao produto escalar.
Para e escalar
, temos
. Então
Para
e
. Logo
também satisfaz
, ou seja,
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Além disso, nota-se que
ou seja,
é a reta de dimensão 1 gerada por
.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.