Identifique e descreva as superfícies de equações dadas por:
x^{2}+4 y^{2}+8 x-8 y-4 z+28=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e descrever a superfície dada por
x^{2}+4y^{2}+8x-8y-4z+28=0.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^{3}, mais precisamente superfícies quádricas. Para classificar a superfície, vamos completar quadrados nos termos de x e y e colocar a equação em forma canônica, isolando z.

Passo 2

Agrupamos os termos em x:
x^{2}+8x = (x+4)^{2} - 16.
Isso porque (x+4)^{2} = x^{2} + 8x + 16, logo subtrai-se 16 para manter a igualdade.

Passo 3

Agrupamos os termos em y:
4y^{2} - 8y = 4\bigl(y^{2} - 2y\bigr) = 4\bigl((y-1)^{2} - 1\bigr) = 4(y-1)^{2} - 4.
Aqui usamos (y-1)^{2} = y^{2}-2y+1.

Passo 4

Substituímos esses completamentos na equação original:
(x+4)^{2} - 16 \;+\; 4(y-1)^{2} -4 \;-\;4z \;+\;28 = 0
e somamos as constantes -16 -4 +28 = 8:
(x+4)^{2} +4(y-1)^{2} -4z +8 = 0.
Isolando z:
-4z = -\bigl((x+4)^{2} +4(y-1)^{2} +8\bigr) \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} + 2.

Passo 5

A expressão
z = \frac{(x+4)^{2}}{4} + (y-1)^{2} + 2
é a forma canônica de um paraboloide elíptico que abre no sentido positivo de z.
  • O vértice está em \bigl(-4,\,1,\,2\bigr).
  • As seções transversais para z=\text{const} são elipses, e para x=\text{const} ou y=\text{const} são parábolas.
  • Os eixos principais deste paraboloide são paralelos aos eixos coordenados.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico de concavidade voltada para +z, com vértice em \bigl(-4,1,2\bigr) e equação canônica
z = \frac{(x+4)^{2}}{4} \;+\; (y-1)^{2} \;+\; 2.

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