Identifique e descreva as superfícies de equações dadas por:
Passo 1
O enunciado pede para identificar e descrever a superfície dada por
O conteúdo aqui é geometria analítica em
, mais precisamente superfícies quádricas. Para classificar a superfície, vamos completar quadrados nos termos de
e
e colocar a equação em forma canônica, isolando
.
Passo 2
Agrupamos os termos em
:
Isso porque
, logo subtrai-se
para manter a igualdade.
Passo 3
Agrupamos os termos em
:
Aqui usamos
.
Passo 4
Substituímos esses completamentos na equação original:
e somamos as constantes
:
Isolando
:
Passo 5
A expressão
é a forma canônica de um paraboloide elíptico que abre no sentido positivo de
.
- O vértice está em
. - As seções transversais para
são elipses, e para ou são parábolas. - Os eixos principais deste paraboloide são paralelos aos eixos coordenados.
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico de concavidade voltada para
, com vértice em
e equação canônica