Dada a matriz B=\left[\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right], considere as seguintes afirmações.
  1. A matriz B é inversível.
  2. A matriz B não é inversível.
  3. O determinante de B é 1 .
  4. O determinante de B é -1 .
  5. O determinante de B é 0 .
  6. Para qualquer vetor \vec{b} \in \mathbb{R}^{5} a equação B \vec{X}=\vec{b} tem solução.
  7. Existem vetores \vec{b} \in \mathbb{R}^{5} tais que a equação B \vec{X}=\vec{b} não tem solução.
  8. A equação B \vec{X}=\overrightarrow{0} só possui a solução trivial, isto é \vec{X}=\overrightarrow{0}.
  9. A equação B \vec{X}=\overrightarrow{0} possui alguma solução não trivial, isto é, algum vetor \overrightarrow{0} \neq \vec{p} \in \mathbb{R}^{5} tal que B \vec{p}=\overrightarrow{0}.
Podemos afirmar que são verdadeiras:
a) 2,3,6 e 9 .
b) 2,5,7 e 8 .
c) 1,3,7,9.
d) 1,4,6 e 8 .
e) n.d.a

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\[6pt] 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[6pt] 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix},
e pede para identificar quais das afirmativas sobre sua inversibilidade, determinante e soluções do sistema B\vec X=\vec b são verdadeiras. O conteúdo envolvido é cálculo de determinante por eliminação e as consequências de \det(B)\neq0 para invertibilidade e solução de sistemas.]

Passo 2

Vamos calcular \det(B) por operações elementares que não alteram seu valor. Começamos com
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
1. Subtraímos R _3\leftarrowR _3-R _1 e R _4\leftarrowR _4-R _1, obtendo
M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
2. Subtraímos R _4\leftarrowR _4-R _2, ficando
M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
3. Somamos R _5\leftarrowR _5 +R _3 e subtraímos R _4\leftarrowR _4-R _3, resultando em
M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & -1 \\\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Agora M_3 é triangular superior, logo
\det(B) = 1 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1.

Passo 3

Como \det(B)=-1\neq0, concluímos:
  • B é invertível.
  • O sistema B\vec X=\vec b tem solução única para todo \vec b\in\mathbb R^5.
  • O núcleo de B é trivial, isto é, a única solução de B\vec X=\vec0 é \vec X=\vec0.
Portanto são verdadeiras as afirmativas 1, 4, 6 e 8.

Resposta

d) 1,4,6 e 8.

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