Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa
.
( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade
obtenha a razão entre essa velocideade final
e a velocidade incial
Ou seja, obtenha
. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.
( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade
Passo 1
O enunciado diz: uma nave de massa
está em órbita circular ao redor do Sol (massa
), a uma distância
do centro do Sol e com velocidade
. A nave passa para uma nova órbita circular de raio
e sua nova velocidade é
. O que pedem: obter a razão
. Informações relevantes fornecidas:
Também é dito: a única força atuante é a atração gravitacional, que fornece a força centrípeta necessária à órbita circular.
Passo 2
Relembre a Lei da Gravitação Universal de Newton: a força gravitacional entre o Sol e a nave, para separação
, tem módulo
onde
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol e
é a massa da nave. Aqui:
aponta radialmente para o Sol e é a única força centrípeta.
Passo 3
Relembre a expressão da força centrípeta necessária para manter um corpo de massa
em movimento circular de raio
com rapidez
:
Nessa fórmula,
é a massa do objeto,
é a velocidade tangencial e
é o raio da órbita. Essa força aponta também radialmente para o centro da curva.
Passo 4
Como a gravidade é a única força e fornece exatamente a força centrípeta para a órbita circular, igualamos as duas expressões (no raio
):
Agora explique: podemos simplificar essa igualdade. Observa-se que o fator
aparece em ambos os lados, então a massa da nave cancela — por isso a velocidade orbital de um corpo em torno de um mesmo central independe da sua massa.
Passo 5
Cancelando
e rearranjando para encontrar
:
Essa é a relação clássica para velocidade em órbita circular: a velocidade escalar depende de
, da massa central
e do raio
segundo
.
Passo 6
Agora aplicamos o mesmo raciocínio para a nova órbita de raio
. A igualdade entre força gravitacional (em
) e centrípeta (com velocidade
) dá:
Cancelando
e simplificando os fatores de
obtemos
Usando a relação já encontrada para
(veja o Passo 5), podemos escrever
Note que isso nos dá
. Para obter a razão das velocidades devemos extrair a raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos tratando de velocidades escalares não-negativas).