Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa \mathrm{M}_{5}.
( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade \mathrm{v}_{6} obtenha a razão entre essa velocideade final v_{1} e a velocidade incial v_{2} Ou seja, obtenha v_{1} / v. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.

Passo 1

O enunciado diz: uma nave de massa m está em órbita circular ao redor do Sol (massa M), a uma distância r do centro do Sol e com velocidade v. A nave passa para uma nova órbita circular de raio 4r e sua nova velocidade é v_{1}. O que pedem: obter a razão \dfrac{v_{1}}{v}. Informações relevantes fornecidas:
\text{massa da nave: } m,\qquad \text{massa do Sol: } M,\qquad \text{raio inicial: } r,\qquad \text{velocidade inicial: } v,
\text{novo raio: } 4r,\qquad \text{nova velocidade: } v_{1}.
Também é dito: a única força atuante é a atração gravitacional, que fornece a força centrípeta necessária à órbita circular.

Passo 2

Relembre a Lei da Gravitação Universal de Newton: a força gravitacional entre o Sol e a nave, para separação r, tem módulo
F_{\text{grav}}=\dfrac{G\,M\,m}{r^{2}},
onde G é a constante gravitacional, M é a massa do Sol e m é a massa da nave. Aqui: F_{\text{grav}} aponta radialmente para o Sol e é a única força centrípeta.

Passo 3

Relembre a expressão da força centrípeta necessária para manter um corpo de massa m em movimento circular de raio r com rapidez v:
F_{\text{cent}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}.
Nessa fórmula, m é a massa do objeto, v é a velocidade tangencial e r é o raio da órbita. Essa força aponta também radialmente para o centro da curva.

Passo 4

Como a gravidade é a única força e fornece exatamente a força centrípeta para a órbita circular, igualamos as duas expressões (no raio r):
\dfrac{G\,M\,m}{r^{2}}=\dfrac{m\,v^{2}}{r}.
Agora explique: podemos simplificar essa igualdade. Observa-se que o fator m aparece em ambos os lados, então a massa da nave cancela — por isso a velocidade orbital de um corpo em torno de um mesmo central independe da sua massa.

Passo 5

Cancelando m e rearranjando para encontrar v^{2}:
v^{2}=\dfrac{G\,M}{r}.
Essa é a relação clássica para velocidade em órbita circular: a velocidade escalar depende de G, da massa central M e do raio r segundo v\propto r^{-1/2}.

Passo 6

Agora aplicamos o mesmo raciocínio para a nova órbita de raio 4r. A igualdade entre força gravitacional (em 4r) e centrípeta (com velocidade v_{1}) dá:
\dfrac{G\,M\,m}{(4r)^{2}}=\dfrac{m\,v_{1}^{2}}{4r}.
Cancelando m e simplificando os fatores de 4 obtemos
v_{1}^{2}=\dfrac{G\,M}{4r}.
Usando a relação já encontrada para v^{2} (veja o Passo 5), podemos escrever
v_{1}^{2}=\dfrac{1}{4}\,v^{2}.
Note que isso nos dá v_{1}^{2} = v^{2}/4. Para obter a razão das velocidades devemos extrair a raiz quadrada (tomando a raiz positiva porque estamos tratando de velocidades escalares não-negativas).

Resposta

\dfrac{v_{1}}{v}=\dfrac{1}{2}

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