Uma esfera de raio
cria um campo elétrico de módulo
a uma distáncia
do centro da esforn.
a)
Qual é o fluxo olétrico através da superficie gaussiana desenhada a uma distância
b)
Qual é a carga elétrica na esfera?
a)
b)
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pergunta:\n
- Raio da esfera:
.\n - O campo elétrico tem módulo
a uma distância do centro da esfera.\n - Há uma superfície gaussiana desenhada a essa distância
(ou seja, uma esfera concêntrica de raio ).\n
Perguntas:\n
a) Qual é o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana?\n
b) Qual é a carga elétrica na esfera?\n
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicados devagar):\n
- Fluxo elétrico: o fluxo do campo elétrico através de uma superfície é definido por
onde
é um elemento de área vetorial (módulo igual à área do pedaço, direção normal à superfície, sentido para fora).\n
- Produto escalar
: se o campo for paralelo à normal na superfície e tiver módulo constante, o produto vira simplesmente . Isso facilita muito os cálculos.\n - Lei de Gauss: a integral do campo pela superfície fechada é igual à carga total encluída dividida por
:
Aqui
é a permissividade do vácuo; um valor prático é
.\n
Vou aplicar esses conceitos ao caso de uma superfície esférica concêntrica com a esfera carregada.
Vou aplicar esses conceitos ao caso de uma superfície esférica concêntrica com a esfera carregada.
Passo 3
Por que podemos simplificar para
?\n
- Para uma esfera carregada (com distribuição esférica ou, no caso de uma esfera condutora carregada), o campo elétrico externo é radial e tem o mesmo módulo em todos os pontos de uma superfície esférica concêntrica. Isso significa que em cada ponto
é paralelo a (ambos radiais) e é constante sobre a superfície gaussiana.\n - Assim,
onde
é a área da superfície esférica gaussiana.
Passo 4
Calcular a área da superfície gaussiana (esfera de raio
):\n
- Converter
para metros: .\n - Fórmula da área de uma esfera de raio
:
- Substituindo
:
- Aproximação numérica (usando
):
Passo 5
Calcular o fluxo através da superfície gaussiana:\n
- Usamos
. Com e ,
- Valor numérico aproximado:
(Arredondando,
.)
Passo 6
Determinar a carga elétrica na esfera usando a lei de Gauss:\n
- A lei de Gauss afirma
. Isolando ,
- Usando
e ,
- Calculemos numericamente:
- Em unidades práticas,
(picoCoulombs, onde ).\n - Observação sobre o sinal: como o enunciado deu apenas o módulo de
, estamos determinando o valor da carga em módulo e assumimos a configuração usual em que o campo aponta radialmente para fora (carga positiva). Se o campo apontasse para dentro, o resultado em módulo seria o mesmo e o sinal da carga seria negativo.
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)