Uma esfera de raio r=5 \mathrm{~cm} cria um campo elétrico de módulo E=6 \mathrm{~N} / \mathrm{C} a uma distáncia d=10 \mathrm{~cm} do centro da esforn.
a) (1,0) Qual é o fluxo olétrico através da superficie gaussiana desenhada a uma distância d=10 \mathrm{~cm} ?
b) (1,0) Qual é a carga elétrica na esfera?

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pergunta:\n
  • Raio da esfera: r=5\\ \mathrm{cm}.\n
  • O campo elétrico tem módulo E=6\\ \mathrm{N/C} a uma distância d=10\\ \mathrm{cm} do centro da esfera.\n
  • Há uma superfície gaussiana desenhada a essa distância d=10\\ \mathrm{cm} (ou seja, uma esfera concêntrica de raio R=d).\n
    Perguntas:\n
    a) Qual é o fluxo elétrico através dessa superfície gaussiana?\n
    b) Qual é a carga elétrica na esfera?\n

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicados devagar):\n
  • Fluxo elétrico: o fluxo do campo elétrico através de uma superfície é definido por
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é um elemento de área vetorial (módulo igual à área do pedaço, direção normal à superfície, sentido para fora).\n
  • Produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}: se o campo for paralelo à normal na superfície e tiver módulo constante, o produto vira simplesmente E\,dA. Isso facilita muito os cálculos.\n
  • Lei de Gauss: a integral do campo pela superfície fechada é igual à carga total encluída dividida por \epsilon_0:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
Aqui \epsilon_0 é a permissividade do vácuo; um valor prático é \epsilon_0=8,854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}.\n
Vou aplicar esses conceitos ao caso de uma superfície esférica concêntrica com a esfera carregada.

Passo 3

Por que podemos simplificar para \Phi = E\cdot A ?\n
  • Para uma esfera carregada (com distribuição esférica ou, no caso de uma esfera condutora carregada), o campo elétrico externo é radial e tem o mesmo módulo em todos os pontos de uma superfície esférica concêntrica. Isso significa que em cada ponto \mathbf{E} é paralelo a d\mathbf{A} (ambos radiais) e |\mathbf{E}| é constante sobre a superfície gaussiana.\n
  • Assim,
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\oint dA=E\cdot A,
onde A é a área da superfície esférica gaussiana.

Passo 4

Calcular a área da superfície gaussiana (esfera de raio R=d):\n
  • Converter d para metros: d=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.\n
  • Fórmula da área de uma esfera de raio R:
A=4\pi R^2.
  • Substituindo R=0,10\\ \mathrm{m}:
A=4\pi (0,10)^2 =4\pi (0,01)=0,04\pi\\ \mathrm{m^2}.
  • Aproximação numérica (usando \pi\approx 3,14159):
A\approx 0,04\cdot 3,14159=0,12566\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Calcular o fluxo através da superfície gaussiana:\n
  • Usamos \Phi=E\cdot A. Com E=6\\ \mathrm{N/C} e A=0,04\pi\\ \mathrm{m^2},
\Phi = 6\cdot 0,04\pi =0,24\pi\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
  • Valor numérico aproximado:
\Phi \approx 0,24\cdot 3,14159 \approx 0,75398\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.
(Arredondando, \Phi\approx 0,754\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.)

Passo 6

Determinar a carga elétrica na esfera usando a lei de Gauss:\n
  • A lei de Gauss afirma \Phi=\dfrac{q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}. Isolando q_{\text{enc}},
q_{\text{enc}}=\epsilon_0\,\Phi.
  • Usando \epsilon_0=8,854\times 10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)} e \Phi=0,24\pi\\ \mathrm{N\cdot m^2/C},
q=\left(8,854\times 10^{-12}\right)\cdot\left(0,24\pi\right)\\ \mathrm{C}.
  • Calculemos numericamente:
q\approx 8,854\times 10^{-12}\cdot 0,75398 \approx 6,68\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}.
  • Em unidades práticas, q\approx 6,68\\ \mathrm{pC} (picoCoulombs, onde 1\\ \mathrm{pC}=10^{-12}\\ \mathrm{C}).\n
  • Observação sobre o sinal: como o enunciado deu apenas o módulo de E, estamos determinando o valor da carga em módulo e assumimos a configuração usual em que o campo aponta radialmente para fora (carga positiva). Se o campo apontasse para dentro, o resultado em módulo seria o mesmo e o sinal da carga seria negativo.

Resposta

(a) \Phi=0,24\pi\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}\approx 0,754\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}\n
(b) q=\epsilon_0\Phi\approx 6,68\times 10^{-12}\\ \mathrm{C}

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