25 Problema

Uma carga pontual q está localizada no vácuo a uma distândia d do centro de uma esfera dielétrica de raio a(d>a) e permissividade \epsilon. Calcule o potencial para pontos internos e externos. Verifique se no limite \epsilon \rightarrow \infty os resultados coincidem com o caso da carga pontual colocada próxima a uma esfera condutora.

Passo 1

O problema coloca uma carga pontual q no vácuo, localizada no eixo z a uma distância d do centro de uma esfera dielétrica de raio a e permissividade \epsilon, com d>a. Queremos achar o potencial eletrostático em regime estacionário para dois casos: pontos internos à esfera r<a e pontos externos à esfera r>a. Como há simetria axial em torno do eixo que une o centro da esfera à carga, usamos expansão em polinômios de Legendre e impomos as condições de contorno em r=a: continuidade do potencial V e continuidade do deslocamento elétrico normal D_r=-\epsilon\,\partial V/\partial r.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da solução do potencial em cada região. No exterior da esfera r>a o potencial é soma do potencial da carga livre e de uma expansão em termos de coeficientes C_l:
V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty}\Bigl[ \frac{r^l}{d^{\,l+1}} +\,C_l\;\frac{a^{2l+1}}{r^{\,l+1}\,d^{\,l+1}} \Bigr]P_l(\cos\theta),
enquanto no interior da esfera r<a o potencial é regular em r=0 e escrevemos
V_{\text{in}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty}D_l\;\frac{r^l}{d^{\,l+1}}\,P_l(\cos\theta).

Passo 3

Em r=a impomos:
  1. continuidade de V:
\frac{r^l}{d^{\,l+1}}+C_l\frac{a^{2l+1}}{r^{\,l+1}d^{\,l+1}} \Big|_{r=a} =D_l\frac{a^l}{d^{\,l+1}},
  1. continuidade de D_r=\epsilon\,E_r:
\epsilon_0\Bigl[ l\frac{r^{l-1}}{d^{\,l+1}} -(l+1)\,C_l\frac{a^{2l+1}}{r^{\,l+2}d^{\,l+1}} \Bigr]_{r=a} =\epsilon\,l\,D_l\frac{a^{\,l-1}}{d^{\,l+1}}.
Resolvendo esse sistema para cada l define-se \epsilon_r=\epsilon/\epsilon_0 e obtém-se
C_l=-\frac{l(\epsilon_r-1)}{\epsilon_r\,l+(l+1)}, \quad D_l=\frac{2l+1}{\epsilon_r\,l+(l+1)}.

Passo 4

Substituindo C_l e D_l nas expansões, temos finalmente:
V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty} \Biggl[ \frac{r^l}{d^{\,l+1}} -\frac{l(\epsilon_r-1)}{\epsilon_r\,l+(l+1)} \;\frac{a^{2l+1}}{r^{\,l+1}\,d^{\,l+1}} \Biggr] P_l(\cos\theta), \quad r>a,
V_{\text{in}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{2l+1}{\epsilon_r\,l+(l+1)} \;\frac{r^l}{d^{\,l+1}} \,P_l(\cos\theta), \quad r<a.

Passo 5

No limite condutor perfeito \epsilon\to\infty (ou \epsilon_r\to\infty) tem-se para l\ge1:
D_l\to0, \quad C_l\to -1.
Isso faz V_{\text{in}}\to constante (esfera equipotencial) e em V_{\text{out}} a soma \sum_{l\ge1}\bigl[r^l/d^{l+1}-a^{2l+1}/(r^{l+1}d^{l+1})\bigr]P_l rege­ne­ra o resultado clássico de imagem para esfera condutora, com carga imagem q'=-\bigl(a/d\bigr)q em distância a^2/d.

Resposta

Para r>a:
V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty} \Biggl[ \frac{r^l}{d^{\,l+1}} -\frac{l\bigl(\tfrac{\epsilon}{\epsilon_0}-1\bigr)}{\tfrac{\epsilon}{\epsilon_0}\,l+(l+1)} \;\frac{a^{2l+1}}{r^{\,l+1}\,d^{\,l+1}} \Biggr] P_l(\cos\theta).
Para r<a:
V_{\text{in}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{2l+1}{\tfrac{\epsilon}{\epsilon_0}\,l+(l+1)} \;\frac{r^l}{d^{\,l+1}} \,P_l(\cos\theta).
No limite \epsilon\to\infty recupera-se o caso de esfera condutora com carga imagem q'=-\tfrac{a}{d}q.

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