Uma carga pontual q está localizada no vácuo a uma distândia d do centro de uma esfera dielétrica de raio a(d>a) e permissividade \epsilon. Calcule o potencial para pontos internos e externos. Verifique se no limite \epsilon \rightarrow \infty os resultados coincidem com o caso da carga pontual colocada próxima a uma esfera condutora.
Passo 1
O problema coloca uma carga pontual q no vácuo, localizada no eixo z a uma distância d do centro de uma esfera dielétrica de raio a e permissividade \epsilon, com d>a. Queremos achar o potencial eletrostático em regime estacionário para dois casos: pontos internos à esfera r<a e pontos externos à esfera r>a. Como há simetria axial em torno do eixo que une o centro da esfera à carga, usamos expansão em polinômios de Legendre e impomos as condições de contorno em r=a: continuidade do potencial V e continuidade do deslocamento elétrico normal D_r=-\epsilon\,\partial V/\partial r.
Passo 2
Escrevemos a forma geral da solução do potencial em cada região. No exterior da esfera r>a o potencial é soma do potencial da carga livre e de uma expansão em termos de coeficientes C_l:
No limite condutor perfeito \epsilon\to\infty (ou \epsilon_r\to\infty) tem-se para l\ge1:
D_l\to0, \quad C_l\to -1.
Isso faz V_{\text{in}}\to constante (esfera equipotencial) e em V_{\text{out}} a soma \sum_{l\ge1}\bigl[r^l/d^{l+1}-a^{2l+1}/(r^{l+1}d^{l+1})\bigr]P_l regenera o resultado clássico de imagem para esfera condutora, com carga imagem q'=-\bigl(a/d\bigr)q em distância a^2/d.