Potencial gravitacional devido a uma casca esférica homogênea de raio interno b, raio externo a, massa M e densidade \rho. \varphi é o potencial gravitacional em um ponto P localizado a uma distância r_{0} do centro da esfera.
a) Mostre que
b) Para cada um desses casos calcule a magnitude do campo \vec{g} a partir da equação g=\frac{d \varphi}{d r_{0}}(\vec{g}=\nabla \varphi).
Passo 1
O enunciado trata do potencial gravitacional \varphi gerado por uma casca esférica homogênea de densidade \rho, raio interno b, raio externo a e massa total M, num ponto P a distância r_{0} do centro. Para resolver vamos usar o Teorema da Casca Esférica de Newton (que diz como cada casca esférica contribui para o potencial) e integrar sobre as cascas de raio variável.
Passo 2
Caso r_{0}>a.
Nesse caso todo o volume da casca está contido dentro de um esfera de raio r_{0}, e pelo Teorema da Casca uma esfera homogênea age como se toda a massa estivesse concentrada no centro. Logo
\varphi(r_{0}) = \frac{G\,M}{r_{0}}.
Passo 3
Caso r_{0}<b.
Aqui P está dentro do “vazio” da casca, ou seja, não há massa em r'<r_{0}. Cada casca esférica de raio r'\in[b,a] contribui com