Potencial gravitacional devido a uma casca esférica homogênea de raio interno b, raio externo a, massa M e densidade \rho. \varphi é o potencial gravitacional em um ponto P localizado a uma distância r_{0} do centro da esfera.
a) Mostre que
\begin{gathered} \varphi=\frac{G M}{r_{0}} ; \quad r_{0}>a, \\\ \varphi=2 \pi \rho G\left(a^{2}-b^{2}\right) ; \quad r_{0}<b, \end{gathered}
e
\varphi=4 \pi \rho G\left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3 r_{0}}-\frac{r_{0}^{2}}{6}\right) ; \quad b<r_{0}<a
b) Para cada um desses casos calcule a magnitude do campo \vec{g} a partir da equação g=\frac{d \varphi}{d r_{0}}(\vec{g}=\nabla \varphi).

Passo 1

O enunciado trata do potencial gravitacional \varphi gerado por uma casca esférica homogênea de densidade \rho, raio interno b, raio externo a e massa total M, num ponto P a distância r_{0} do centro. Para resolver vamos usar o Teorema da Casca Esférica de Newton (que diz como cada casca esférica contribui para o potencial) e integrar sobre as cascas de raio variável.

Passo 2

Caso r_{0}>a.
Nesse caso todo o volume da casca está contido dentro de um esfera de raio r_{0}, e pelo Teorema da Casca uma esfera homogênea age como se toda a massa estivesse concentrada no centro. Logo
\varphi(r_{0}) = \frac{G\,M}{r_{0}}.

Passo 3

Caso r_{0}<b.
Aqui P está dentro do “vazio” da casca, ou seja, não há massa em r'<r_{0}. Cada casca esférica de raio r'\in[b,a] contribui com
d\varphi = G\,\frac{dm}{r'} = G\,\frac{4\pi\rho\,{r'}^{2}\,dr'}{r'} = 4\pi\rho\,G\,r'\,dr'.
Integrando de r'=b até r'=a obtemos
\varphi(r_{0}) = 4\pi\rho\,G\int_{b}^{a} r'\,dr' =4\pi\rho\,G\left[\frac{a^{2}-b^{2}}{2}\right] =2\pi\rho\,G\bigl(a^{2}-b^{2}\bigr).

Passo 4

Caso b<r_{0}<a.
Separamos em duas partes:
  1. Massa interna b\le r'\le r_{0}: age como massa pontual M_{\rm int} no centro, com
M_{\rm int} = 4\pi\rho\int_{b}^{r_{0}} {r'}^{2}\,dr' = \frac{4\pi\rho}{3}\bigl(r_{0}^{3}-b^{3}\bigr),
logo
\phi_{\rm int} = \frac{G\,M_{\rm int}}{r_{0}} = \frac{4\pi\rho\,G}{3}\,\frac{r_{0}^{3}-b^{3}}{r_{0}}.
  1. Massa externa r_{0}\le r'\le a: cada casca de raio r'
d\varphi = G\,\frac{4\pi\rho\,{r'}^{2}\,dr'}{r'} =4\pi\rho\,G\,r'\,dr',
integrando de r_{0} até a:
\phi_{\rm ext} =4\pi\rho\,G\int_{r_{0}}^{a} r'\,dr' =4\pi\rho\,G\left[\frac{a^{2}-r_{0}^{2}}{2}\right].
Somando \varphi=\phi_{\rm int}+\phi_{\rm ext}
\varphi(r_{0}) =4\pi\rho\,G\Bigl(\frac{r_{0}^{3}-b^{3}}{3\,r_{0}}+\frac{a^{2}-r_{0}^{2}}{2}\Bigr) =4\pi\rho\,G\Bigl(\frac{a^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3\,r_{0}}-\frac{r_{0}^{2}}{6}\Bigr).

Passo 5

Cálculo do campo \vec g em módulo: \,g(r_{0})=\bigl|\nabla\varphi\bigr|=\bigl|d\varphi/dr_{0}\bigr|.
  1. Para r_{0}>a:
\varphi=\frac{G\,M}{r_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\varphi}{dr_{0}}=-\frac{G\,M}{r_{0}^{2}} \;\;\Rightarrow\;\;g=\frac{G\,M}{r_{0}^{2}}.
  1. Para r_{0}<b:
\varphi=2\pi\rho\,G\bigl(a^{2}-b^{2}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{d\varphi}{dr_{0}}=0 \;\;\Rightarrow\;\;g=0.
  1. Para b<r_{0}<a:
\varphi=4\pi\rho\,G\Bigl(\frac{a^{2}}{2}-\frac{b^{3}}{3\,r_{0}}-\frac{r_{0}^{2}}{6}\Bigr)
\frac{d\varphi}{dr_{0}} =4\pi\rho\,G\Bigl(0+\frac{b^{3}}{3\,r_{0}^{2}}-\frac{r_{0}}{3}\Bigr) =\frac{4\pi\rho\,G}{3}\Bigl(\frac{b^{3}}{r_{0}^{2}}-r_{0}\Bigr).
O módulo do campo é
g =\Bigl|\frac{d\varphi}{dr_{0}}\Bigr| =\frac{4\pi\rho\,G}{3}\Bigl(r_{0}-\frac{b^{3}}{r_{0}^{2}}\Bigr) =\frac{G\,M_{\rm int}}{r_{0}^{2}},
com M_{\rm int}=\tfrac{4\pi\rho}{3}(r_{0}^{3}-b^{3}).

Resposta

a)
\varphi(r_{0})= \begin{cases} \dfrac{G\,M}{r_{0}},&r_{0}>a,\\[6pt] 2\pi\rho\,G\bigl(a^{2}-b^{2}\bigr),&r_{0}<b,\\[6pt] 4\pi\rho\,G\Bigl(\dfrac{a^{2}}{2}-\dfrac{b^{3}}{3\,r_{0}}-\dfrac{r_{0}^{2}}{6}\Bigr),&b<r_{0}<a. \end{cases}
b)
g(r_{0})= \begin{cases} \dfrac{G\,M}{r_{0}^{2}},&r_{0}>a,\\[6pt] 0,&r_{0}<b,\\[6pt] \dfrac{4\pi\rho\,G}{3}\Bigl(r_{0}-\dfrac{b^{3}}{r_{0}^{2}}\Bigr),&b<r_{0}<a. \end{cases}]

Exercícios relacionados