25 Problema

Uma carga pontual q está localizada no vácuo a uma distândia d do centro de uma esfera dielétrica de raio a(d>a) e permissividade \epsilon. Calcule o potencial para pontos internos e externos. Verifique se no limite \epsilon \rightarrow \infty os resultados coincidem com o caso da carga pontual colocada próxima a uma esfera condutora.

Passo 1

O enunciado pede o potencial criado por uma carga pontual q colocada no vácuo a uma distância d do centro de uma esfera dielétrica de raio a e permissividade \epsilon, com d>a. Vamos usar a expansão em harmônicos esféricos (polinômios de Legendre) e impor as condições de contorno de continuidade do potencial e da componente normal de \mathbf D na superfície r=a.

Passo 2

Primeiro, lembramos a expansão em Legendre da função 1/|\mathbf r-\mathbf r_0| quando a carga está em \mathbf r_0 com |\mathbf r_0|=d:
\frac{1}{|\mathbf r-\mathbf r_0|} =\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r_{<}^{\,l}}{r_{>}^{\,l+1}}\,P_{l}(\cos\theta),
onde r_< = \min(r,d), r_> = \max(r,d) e \theta é o ângulo entre \mathbf r e \mathbf r_0.

Passo 3

Escrevemos o potencial em duas regiões:
— Para r>a (fora da esfera), o potencial é a soma do potencial da carga mais um termo induzido na esfera,
V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\sum_{l=0}^{\infty}\frac{r^{\,l}}{d^{\,l+1}}P_{l}(\cos\theta) +\sum_{l=0}^{\infty}\frac{A_{l}}{r^{\,l+1}}P_{l}(\cos\theta).
— Para r<a (dentro da esfera), só existe o potencial induzido,
V_{\text{in}}(r,\theta) =\sum_{l=0}^{\infty}B_{l}\,r^{\,l}\,P_{l}(\cos\theta).

Passo 4

Impondo em r=a\) a continuidade de \(V\) e de \(D_{r} = \epsilon\,E_{r} = -\epsilon\,\partial V/\partial r\), obtemos para cada \(l\) o sistema \[\begin{cases} B_{l}\,a^{l} =\dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{a^{l}}{d^{\,l+1}} +\dfrac{A_{l}}{a^{\,l+1}},\\[1em] \epsilon\,l\,B_{l}\,a^{l-1} =-\dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}(l+1)\,\dfrac{a^{l}}{d^{\,l+1}} -(l+1)\,\dfrac{A_{l}}{a^{\,l+2}}. \end{cases}
Resolvendo para A_{l}\] e \(B_{l} temos
A_{l} =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{(\epsilon-1)\,l}{\epsilon\,l+(l+1)}\, \frac{a^{2l+1}}{d^{\,l+1}}, \quad B_{l} =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\, \frac{2l+1}{\epsilon\,l+(l+1)}\, \frac{1}{d^{\,l+1}}.]

Passo 5

Substituindo as constantes, os potenciais finais ficam:
V_{\text{in}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{2l+1}{\epsilon\,l+(l+1)} \;\frac{r^{\,l}}{d^{\,l+1}}\; P_{l}(\cos\theta),
V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r^{\,l}}{d^{\,l+1}}\,P_{l}(\cos\theta) +\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(\epsilon-1)\,l}{\epsilon\,l+(l+1)} \;\frac{a^{2l+1}}{d^{\,l+1}\,r^{\,l+1}}\; P_{l}(\cos\theta).

Passo 6

No limite \epsilon\to\infty (esfera perfeitamente condutora) vemos que \tfrac{2l+1}{\epsilon\,l+(l+1)}\to0 para l\ge1 e \to1 para l=0,
enquanto \tfrac{(\epsilon-1)\,l}{\epsilon\,l+(l+1)}\to1 para todo l\ge1.
Logo
V_{\text{in}}(r,\theta)\xrightarrow{\;\epsilon\to\infty\;} \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\;\frac{1}{d} \quad(\text{potencial constante}),
e a soma das contribuições de todos os l\ge1 em V_{\text{out}} reproduz exatamente a solução por carga imagem para uma esfera condutora.

Resposta

\displaystyle V_{\text{in}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{2l+1}{\epsilon\,l+(l+1)} \;\frac{r^{\,l}}{d^{\,l+1}}\; P_{l}(\cos\theta), \displaystyle V_{\text{out}}(r,\theta) =\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{r^{\,l}}{d^{\,l+1}}\,P_{l}(\cos\theta) +\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}} \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(\epsilon-1)\,l}{\epsilon\,l+(l+1)} \;\frac{a^{2l+1}}{d^{\,l+1}\,r^{\,l+1}}\; P_{l}(\cos\theta).
No limite \epsilon\to\infty obtém-se o caso da esfera condutora por carga imagem.

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