Uma carga pontual q está localizada no vácuo a uma distândia d do centro de uma esfera dielétrica de raio a(d>a) e permissividade \epsilon. Calcule o potencial para pontos internos e externos. Verifique se no limite \epsilon \rightarrow \infty os resultados coincidem com o caso da carga pontual colocada próxima a uma esfera condutora.
Passo 1
O enunciado pede o potencial criado por uma carga pontual q colocada no vácuo a uma distância d do centro de uma esfera dielétrica de raio a e permissividade \epsilon, com d>a. Vamos usar a expansão em harmônicos esféricos (polinômios de Legendre) e impor as condições de contorno de continuidade do potencial e da componente normal de \mathbf D na superfície r=a.
Passo 2
Primeiro, lembramos a expansão em Legendre da função 1/|\mathbf r-\mathbf r_0| quando a carga está em \mathbf r_0 com |\mathbf r_0|=d:
Impondo em r=a\) a continuidade de \(V\) e de \(D_{r} = \epsilon\,E_{r} = -\epsilon\,\partial V/\partial r\), obtemos para cada \(l\) o sistema
\[\begin{cases} B_{l}\,a^{l} =\dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{a^{l}}{d^{\,l+1}} +\dfrac{A_{l}}{a^{\,l+1}},\\[1em] \epsilon\,l\,B_{l}\,a^{l-1} =-\dfrac{q}{4\pi\epsilon_{0}}(l+1)\,\dfrac{a^{l}}{d^{\,l+1}} -(l+1)\,\dfrac{A_{l}}{a^{\,l+2}}. \end{cases}
No limite \epsilon\to\infty (esfera perfeitamente condutora) vemos que \tfrac{2l+1}{\epsilon\,l+(l+1)}\to0 para l\ge1 e \to1 para l=0,
enquanto \tfrac{(\epsilon-1)\,l}{\epsilon\,l+(l+1)}\to1 para todo l\ge1.
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