(0,25 pt) Utilize o método do fator integrante para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.\n
Temos o Problema de Valor Inicial (PVI)
Temos o Problema de Valor Inicial (PVI)
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
- A equação diferencial e a condição inicial estão explicitadas acima.\n
- A equação envolve potências de
(tem um termo ), e o coeficiente do termo é , então é necessário ter para dividir por .\n
O que o enunciado pede: resolver o PVI, ou seja, encontrarque satisfaça a equação diferencial e .
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão para começar a transformá‑la.\n
Primeiro dividimos ambos os lados por (válido para
) para isolar
:
Primeiro dividimos ambos os lados por
Agora temos a equação escrita de maneira que o lado esquerdo tem termos lineares em
e o lado direito tem
. Esta forma sugere usar a transformação clássica para equações de Bernoulli (uma ideia útil: transformar uma equação não linear em uma linear por substituição).
Passo 3
Motivação e escolha da substituição (explicação didática).\n
Equações do tipo
Equações do tipo
podem ser transformadas em uma equação linear fazendo a substituição
Aqui temos
,
e
. Logo a substituição apropriada é
É útil porque a derivada de
envolve
, que aparece se multiplicarmos a equação original por
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 4
Aplicar a substituição explicitamente e obter a equação linear para
.\n
Multiplicamos a equação por
:
Multiplicamos a equação
Agora note que
portanto
. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Agora lembramos que
. Assim obtemos a equação linear de primeira ordem para
:
Passo 5
Resolver a equação linear por fator integrante (aqui entra a técnica pedida).\n
Para a equação linear o fator integrante é
Para a equação linear
Aqui
, então
Como a condição inicial tem
, podemos trabalhar com
(tomando
). Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Retornar à variável
usando
e simplificar a solução geral.\n
Temos
Temos
Podemos reorganizar fatorando
:
Invertendo a potência
para obter
:
Portanto a solução geral (para
e na região onde o parêntese não anula) é
Passo 7
Determinar a constante
usando a condição inicial
.\n
Aplicando e
na relação
(mais direta para calcular
):
Aplicando
Logo
Passo 8
Substituir
e escrever a solução explícita final.\n
Com temos
Com
Podemos também escrever de forma levemente diferente, por exemplo
mas a forma acima já é clara e mostra que a solução está bem definida em
(pois o parêntese vale
em
).