(0,25 pt) Utilize o método do fator integrante para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial (PVI):
x^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=3 y^{4}, \quad y(1)=\frac{1}{2}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.\n
Temos o Problema de Valor Inicial (PVI)
x^{2}\frac{d y}{d x}-2x y=3y^{4},\qquad y(1)=\tfrac{1}{2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:\n
  • A equação diferencial e a condição inicial estão explicitadas acima.\n
  • A equação envolve potências de y (tem um termo y^{4}), e o coeficiente do termo dy/dx é x^{2}, então é necessário ter x\neq 0 para dividir por x^{2}.\n
    O que o enunciado pede: resolver o PVI, ou seja, encontrar y(x) que satisfaça a equação diferencial e y(1)=\tfrac{1}{2}.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão para começar a transformá‑la.\n
Primeiro dividimos ambos os lados por x^{2} (válido para x\neq 0) para isolar \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}\,y=\frac{3}{x^{2}}\,y^{4}.
Agora temos a equação escrita de maneira que o lado esquerdo tem termos lineares em y e o lado direito tem y^{4}. Esta forma sugere usar a transformação clássica para equações de Bernoulli (uma ideia útil: transformar uma equação não linear em uma linear por substituição).

Passo 3

Motivação e escolha da substituição (explicação didática).\n
Equações do tipo
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
podem ser transformadas em uma equação linear fazendo a substituição
z=y^{1-n}.
Aqui temos P(x)=-\dfrac{2}{x}, Q(x)=\dfrac{3}{x^{2}} e n=4. Logo a substituição apropriada é
z=y^{1-4}=y^{-3}.
É útil porque a derivada de y^{-3} envolve y^{-4}\dfrac{dy}{dx}, que aparece se multiplicarmos a equação original por y^{-4}. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 4

Aplicar a substituição explicitamente e obter a equação linear para z.\n
Multiplicamos a equação \dfrac{dy}{dx}-\dfrac{2}{x}y=\dfrac{3}{x^{2}}y^{4} por y^{-4}:
y^{-4}\frac{dy}{dx}-\frac{2}{x}y^{-3}=\frac{3}{x^{2}}.
Agora note que
\frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr)=-3y^{-4}\frac{dy}{dx},
portanto y^{-4}\dfrac{dy}{dx}=-\tfrac{1}{3}\dfrac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr). Substituindo:
-\frac{1}{3}\frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr)-\frac{2}{x}y^{-3}=\frac{3}{x^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por -3 para simplificar:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{-3}\bigr)+\frac{6}{x}y^{-3}=-\frac{9}{x^{2}}.
Agora lembramos que z=y^{-3}. Assim obtemos a equação linear de primeira ordem para z:
\frac{dz}{dx}+\frac{6}{x}z=-\frac{9}{x^{2}}.

Passo 5

Resolver a equação linear por fator integrante (aqui entra a técnica pedida).\n
Para a equação linear \dfrac{dz}{dx}+P(x)z=R(x) o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Aqui P(x)=\dfrac{6}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int\frac{6}{x}\,dx\Bigr)=\exp\bigl(6\ln|x|\bigr)=|x|^{6}.
Como a condição inicial tem x=1>0, podemos trabalhar com \mu(x)=x^{6} (tomando x>0). Multiplicamos a equação por \mu(x):
x^{6}\frac{dz}{dx}+6x^{5}z=-9x^{4}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{6}z\bigr). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(x^{6}z\bigr)=-9x^{4}.
Integramos ambos os lados em x:
x^{6}z=\int -9x^{4}\,dx=-9\cdot\frac{x^{5}}{5}+C=-\frac{9}{5}x^{5}+C,
onde C é constante de integração. Assim
z=\frac{-\dfrac{9}{5}x^{5}+C}{x^{6}}=-\frac{9}{5}x^{-1}+C x^{-6}.

Passo 6

Retornar à variável y usando z=y^{-3} e simplificar a solução geral.\n
Temos
y^{-3}=-\frac{9}{5}x^{-1}+C x^{-6}.
Podemos reorganizar fatorando x^{-6}:
y^{-3}=x^{-6}\Bigl(C-\frac{9}{5}x^{5}\Bigr).
Invertendo a potência (-3) para obter y:
y=\bigl(y^{-3}\bigr)^{-1/3}=\bigl(x^{-6}\bigl(C-\tfrac{9}{5}x^{5}\bigr)\bigr)^{-1/3} = x^{2}\bigl(C-\tfrac{9}{5}x^{5}\bigr)^{-1/3}.
Portanto a solução geral (para x>0 e na região onde o parêntese não anula) é
y(x)=x^{2}\Bigl(C-\frac{9}{5}x^{5}\Bigr)^{-1/3}.

Passo 7

Determinar a constante C usando a condição inicial y(1)=\tfrac{1}{2}.\n
Aplicando x=1 e y(1)=\tfrac{1}{2} na relação y^{-3}=-\dfrac{9}{5}x^{-1}+C x^{-6} (mais direta para calcular C):
\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{-3}=8=-\frac{9}{5}\cdot 1^{-1}+C\cdot 1^{-6}=-\frac{9}{5}+C.
Logo
C=8+\frac{9}{5}=\frac{40}{5}+\frac{9}{5}=\frac{49}{5}.

Passo 8

Substituir C e escrever a solução explícita final.\n
Com C=\dfrac{49}{5} temos
y(x)=x^{2}\Bigl(\frac{49}{5}-\frac{9}{5}x^{5}\Bigr)^{-1/3}.
Podemos também escrever de forma levemente diferente, por exemplo
y(x)=\frac{5^{1/3}\,x^{2}}{\bigl(49-9x^{5}\bigr)^{1/3}},
mas a forma acima já é clara e mostra que a solução está bem definida em x=1 (pois o parêntese vale \tfrac{49}{5}-\tfrac{9}{5}=8 em x=1).

Resposta

y(x)=x^{2}\Bigl(\frac{49}{5}-\frac{9}{5}x^{5}\Bigr)^{-1/3}

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