Questão 19 (0.5 ponto)

Seja f(x)=(x+4)^{2 / 3} definida no intervalo [-2,3]. Calcule os pontos críticos, pontos singulares e pontos extremos.
(a) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos: x=-2 (mínimo), x=3 (máximo).
(b) Pontos críticos: x=-4; Pontos singulares: x=-4; Pontos extremos: x=-2, x=3.
(c) Pontos críticos: x=-2, x=3; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos: x=-2, x=3.
(d) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: x=-4; Pontos extremos: x=-2, x=3.
(e) Nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x) = (x+4)^{2/3} definida no intervalo [-2,3] e pede três coisas: os pontos críticos, os pontos singulares e os pontos extremos (mínimos/máximos) desse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x) = (x+4)^{2/3}.
  • O domínio de interesse é o intervalo [-2,3].
    As perguntas são: quais são (1) os pontos críticos, (2) os pontos singulares, e (3) os pontos extremos no intervalo dado?

Passo 2

Definições necessárias (em linguagem simples):
  • Um ponto crítico interior é um x interior ao intervalo onde a derivada f'(x) existe e é igual a zero. Ou seja, é um ponto onde f'(x)=0 e x pertence ao interior do intervalo.
  • Um ponto singular (no interior) é um x interior ao intervalo onde a derivada não existe (isto é, f'(x) é indefinida).
  • Para decidir extremos numa função definida em um intervalo fechado, precisamos considerar (i) pontos críticos interiores, (ii) pontos singulares interiores e (iii) os extremos possíveis nas extremidades (os endpoints) do intervalo.
    Vou usar essas definições passo a passo para analisar f em [-2,3].

Passo 3

Primeiro, simplificação útil: note que, para x em [-2,3], temos x+4 \in [2,7], ou seja, x+4>0. Portanto, no intervalo dado podemos escrever sem ambiguidade
f(x)=(x+4)^{2/3},
sem precisar do valor absoluto. Isso facilita o cálculo da derivada usando a regra da potência.

Passo 4

Calculemos a derivada usando a regra da potência. Se g(x)=(x+4)^{\alpha} com \alpha=\tfrac{2}{3}, então
g'(x)=\alpha (x+4)^{\alpha-1}\cdot (x+4)'\!.
Aqui (x+4)'=1. Assim
f'(x)=\frac{2}{3}(x+4)^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3}(x+4)^{-1/3}.
Essa é a expressão da derivada válida para todo x onde x+4\neq0. No nosso intervalo [-2,3] temos x+4\ge2, logo a expressão acima é válida e finita para todo x\in[-2,3].

Passo 5

Agora determinamos pontos críticos (interiores onde f'(x)=0). Resolva
\frac{2}{3}(x+4)^{-1/3}=0.
O fator \tfrac{2}{3} é não nulo e (x+4)^{-1/3} é finito e estritamente positivo para x\in[-2,3]. Portanto a igualdade não pode acontecer; isto é, não existe x no interior de [-2,3] com f'(x)=0. Conclusão: não há pontos críticos no interior do intervalo.

Passo 6

Verificamos pontos singulares interiores (onde f'(x) não existe). A expressão \frac{2}{3}(x+4)^{-1/3} deixa de existir somente em x=-4 (divisão por zero). Porém x=-4 não pertence ao intervalo [-2,3] (porque -4<-2). Logo não há pontos singulares dentro do intervalo considerado. Se o intervalo incluísse -4, teríamos um problema; aqui não há.

Passo 7

Como não há pontos críticos nem singulares no interior, os extremos do intervalo fechado [-2,3] só podem ocorrer nas extremidades. Observação útil: para todo x\in[-2,3] temos x+4>0, então (x+4)^{-1/3}>0 e, multiplicando por \tfrac{2}{3}>0, obtemos f'(x)>0 em todo o intervalo. Portanto f é estritamente crescente em [-2,3]. Logo o menor valor ocorre em x=-2 e o maior ocorre em x=3.
Calculemos os valores (simbolicamente):
f(-2)=( -2+4)^{2/3}=2^{2/3}, \qquad f(3)=(3+4)^{2/3}=7^{2/3}.
Portanto f(-2)<f(3), confirmando mínimo em x=-2 e máximo em x=3.

Passo 8

Juntando tudo: não há pontos críticos no interior de [-2,3]; não há pontos singulares no interior de [-2,3]; o mínimo ocorre em x=-2 e o máximo em x=3. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos: x=-2 (mínimo), x=3 (máximo).

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