Questão 19 (0.5 ponto)
Seja
definida no intervalo [-2,3]. Calcule os pontos críticos, pontos singulares e pontos extremos.
(a) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos:
(mínimo),
(máximo).
(b) Pontos críticos:
; Pontos singulares:
; Pontos extremos:
.
(c) Pontos críticos:
; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos:
.
(d) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares:
; Pontos extremos:
.
(e) Nenhuma das anteriores.
(a) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos:
(b) Pontos críticos:
(c) Pontos críticos:
(d) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares:
(e) Nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede três coisas: os pontos críticos, os pontos singulares e os pontos extremos (mínimos/máximos) desse intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O domínio de interesse é o intervalo
.
As perguntas são: quais são (1) os pontos críticos, (2) os pontos singulares, e (3) os pontos extremos no intervalo dado?
Passo 2
Definições necessárias (em linguagem simples):
- Um ponto crítico interior é um
interior ao intervalo onde a derivada existe e é igual a zero. Ou seja, é um ponto onde e pertence ao interior do intervalo. - Um ponto singular (no interior) é um
interior ao intervalo onde a derivada não existe (isto é, é indefinida). - Para decidir extremos numa função definida em um intervalo fechado, precisamos considerar (i) pontos críticos interiores, (ii) pontos singulares interiores e (iii) os extremos possíveis nas extremidades (os endpoints) do intervalo.
Vou usar essas definições passo a passo para analisarem .
Passo 3
Primeiro, simplificação útil: note que, para
em
, temos
, ou seja,
. Portanto, no intervalo dado podemos escrever sem ambiguidade
sem precisar do valor absoluto. Isso facilita o cálculo da derivada usando a regra da potência.
Passo 4
Calculemos a derivada usando a regra da potência. Se
com
, então
Aqui
. Assim
Essa é a expressão da derivada válida para todo
onde
. No nosso intervalo
temos
, logo a expressão acima é válida e finita para todo
.
Passo 5
Agora determinamos pontos críticos (interiores onde
). Resolva
O fator
é não nulo e
é finito e estritamente positivo para
. Portanto a igualdade não pode acontecer; isto é, não existe
no interior de
com
. Conclusão: não há pontos críticos no interior do intervalo.
Passo 6
Verificamos pontos singulares interiores (onde
não existe). A expressão
deixa de existir somente em
(divisão por zero). Porém
não pertence ao intervalo
(porque
). Logo não há pontos singulares dentro do intervalo considerado. Se o intervalo incluísse
, teríamos um problema; aqui não há.
Passo 7
Como não há pontos críticos nem singulares no interior, os extremos do intervalo fechado
só podem ocorrer nas extremidades. Observação útil: para todo
temos
, então
e, multiplicando por
, obtemos
em todo o intervalo. Portanto
é estritamente crescente em
. Logo o menor valor ocorre em
e o maior ocorre em
.
Calculemos os valores (simbolicamente):
Portanto
, confirmando mínimo em
e máximo em
.
Passo 8
Juntando tudo: não há pontos críticos no interior de
; não há pontos singulares no interior de
; o mínimo ocorre em
e o máximo em
. Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
(a) Pontos críticos: nenhum; Pontos singulares: nenhum; Pontos extremos:
(mínimo),
(máximo).