Questão 18 (0.5 ponto)

Calcule \frac{d y}{d x} para as seguintes equações paramétricas:
  1. x=t^{2}-4, y=t^{2}-2 t.
  2. x=2 t-1, y=t^{3}-5 t^{2}+4.
    (a) 1. \frac{t-1}{t}
  3. \frac{3 t^{2}-10 t}{2}
    (b) 1. \frac{1}{t}-1
  4. \frac{3 t^{2}-10 t}{2}
    (c) 1, \frac{t-1}{t}
  5. 3 t^{2}-10 t
    (d) 1.1
  6. \frac{3 t^{2}-10 t}{2}
    (e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede para calcular \frac{dy}{dx} em duas questões paramétricas. As informações dadas são:
  1. x=t^{2}-4,\; y=t^{2}-2t.
  2. x=2t-1,\; y=t^{3}-5t^{2}+4.
O objetivo é encontrar a expressão de \frac{dy}{dx} em função de t para cada item.

Passo 2

Método que vamos usar (explicado passo a passo): quando x e y são funções diferenciáveis de um parâmetro t, e quando \frac{dx}{dt}\neq0, temos a fórmula
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Por que isso funciona (intuição simples)? Imagine pequenas variações: \Delta y\approx\frac{dy}{dt}\Delta t e \Delta x\approx\frac{dx}{dt}\Delta t. Dividindo \Delta y/\Delta x e levando \Delta t\to0 resulta na razão das derivadas em relação a t.
Também vou usar regras básicas de derivação: a derivada de \,t^{n}\, é n t^{n-1}, e a derivada de constante é 0. Se precisar, fatoramos e simplificamos frações.

Passo 3

Calculando para o item 1:
Calcule \dfrac{dx}{dt}. Como x=t^{2}-4,
\frac{dx}{dt}=2t.
Calcule \dfrac{dy}{dt}. Como y=t^{2}-2t,
\frac{dy}{dt}=2t-2.
Agora aplique a fórmula \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}:
\frac{dy}{dx}=\frac{2t-2}{2t}.
Simplificamos fatorando 2 no numerador:
\frac{dy}{dx}=\frac{2(t-1)}{2t}=\frac{t-1}{t}.
Observação importante: aqui usamos que \frac{dx}{dt}=2t\neq0. Portanto a expressão é válida para t\neq0. Para t=0 a derivada \frac{dy}{dx} não está definida por essa fórmula (pois dividiríamos por zero). Breve checagem numérica (ajuda a fixar): se t=2, então \dfrac{dy}{dx}=(2-1)/2=1/2. Serve pra ver que nossa fórmula gera um número concreto.

Passo 4

Calculando para o item 2:
Calcule \dfrac{dx}{dt}. Como x=2t-1,
\frac{dx}{dt}=2.
Calcule \dfrac{dy}{dt}. Como y=t^{3}-5t^{2}+4,
\frac{dy}{dt}=3t^{2}-10t.
Agora aplique a fórmula:
\frac{dy}{dx}=\frac{3t^{2}-10t}{2}.
Podemos também escrever fatorado:
\frac{dy}{dx}=\frac{t(3t-10)}{2}.
Observação: aqui \frac{dx}{dt}=2\neq0 para todo t, então a expressão vale para todo t.

Passo 5

Resumo e comparação com as alternativas do enunciado: as expressões que encontramos são \dfrac{t-1}{t} para o item 1 e \dfrac{3t^{2}-10t}{2} para o item 2. Essas duas correspondem à alternativa (a) do enunciado.

Resposta

\dfrac{t-1}{t}
\dfrac{3t^{2}-10t}{2}

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