Questão 18 (0.5 ponto)
Calcule
para as seguintes equações paramétricas:
-
.
-
.
(a) 1.
-
(b) 1.
-
(c)
-
(d) 1.1
-
(e) Nenhuma das anteriores
(a) 1.
(b) 1.
(c)
(d) 1.1
(e) Nenhuma das anteriores
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em duas questões paramétricas. As informações dadas são:
O objetivo é encontrar a expressão de
em função de
para cada item.
Passo 2
Método que vamos usar (explicado passo a passo): quando
e
são funções diferenciáveis de um parâmetro
, e quando
, temos a fórmula
Por que isso funciona (intuição simples)? Imagine pequenas variações:
e
. Dividindo
e levando
resulta na razão das derivadas em relação a
.
Também vou usar regras básicas de derivação: a derivada de é
, e a derivada de constante é
. Se precisar, fatoramos e simplificamos frações.
Também vou usar regras básicas de derivação: a derivada de
Passo 3
Calculando para o item 1:
Calcule
. Como
,
Calcule
. Como
,
Agora aplique a fórmula
:
Simplificamos fatorando
no numerador:
Observação importante: aqui usamos que
. Portanto a expressão é válida para
. Para
a derivada
não está definida por essa fórmula (pois dividiríamos por zero). Breve checagem numérica (ajuda a fixar): se
, então
. Serve pra ver que nossa fórmula gera um número concreto.
Passo 4
Calculando para o item 2:
Calcule
. Como
,
Calcule
. Como
,
Agora aplique a fórmula:
Podemos também escrever fatorado:
Observação: aqui
para todo
, então a expressão vale para todo
.
Passo 5
Resumo e comparação com as alternativas do enunciado: as expressões que encontramos são
para o item 1 e
para o item 2. Essas duas correspondem à alternativa (a) do enunciado.