Questão 17 (0.5 ponto)

A posição de um carro movendo-se em linha reta é dada por s(t)=\frac{1}{25} t^{3}, para 0 \leq t \leq 10 (t em segundos, s em metros). Determine o instante t \in(0,10) no qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média no intervalo [0,10].
(a) t=5
(b) t=\frac{10}{\sqrt{3}}
(c) t=\frac{10}{\sqrt{2}}
(d) t=5 \sqrt{2}
(e) Nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado dá a posição do carro
s(t)=\frac{1}{25}t^{3},\qquad 0\le t\le 10,
com t em segundos e s em metros. A pergunta é: encontrar o instante t\in(0,10) em que a velocidade instantânea é igual à velocidade média no intervalo [0,10].
Informações relevantes: a função s(t) e o intervalo [0,10]. O que se pede: um valor de t dentro de (0,10) tal que a velocidade instantânea v(t) seja igual à velocidade média em [0,10].

Passo 2

Entendendo a velocidade média: a velocidade média no intervalo [a,b] é a variação da posição dividida pelo tempo decorrido,
\text{velocidade média}=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}.é
Aqui a=0 e b=10. Vamos calcular s(10) e s(0). Calculando s(10):
s(10)=\frac{1}{25}\cdot 10^{3}=\frac{1000}{25}=40.
E s(0)=\frac{1}{25}\cdot 0^{3}=0. Portanto a velocidade média em [0,10] é
\frac{s(10)-s(0)}{10-0}=\frac{40-0}{10}=4\quad\text{(m/s)}.

Passo 3

Entendendo a velocidade instantânea: a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo, v(t)=s'(t). Regra prática para derivar uma potência: se f(t)=t^{n} então f'(t)=n\,t^{n-1}. Se houver um coeficiente a, para f(t)=a\,t^{n} temos f'(t)=a\,n\,t^{n-1}. Aplicando isso a s(t)=\frac{1}{25}t^{3},
v(t)=s'(t)=\frac{1}{25}\cdot 3 t^{2}=\frac{3}{25}t^{2}.
Isto dá a velocidade instantânea em m/s para cada t.

Passo 4

Agora impomos que a velocidade instantânea seja igual à velocidade média que calculamos. Igualando:
\frac{3}{25}t^{2}=4.
Resolva para t^{2}:
t^{2}=4\cdot\frac{25}{3}=\frac{100}{3}.
Tirando raiz quadrada (considerando que t é tempo e buscamos t>0):
t=\sqrt{\frac{100}{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Verificação rápida: o outro sinal da raiz seria t=-\frac{10}{\sqrt{3}}, que não interessa porque t deve estar em (0,10). Compare o valor obtido com o intervalo: \frac{10}{\sqrt{3}}\approx 5,773, que pertence a (0,10). Portanto é uma solução válida. Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b) t=\frac{10}{\sqrt{3}}

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