1,25 Ptos. Cálcule a solução geral das seguintes EDOs:
y^prime(x)+y=x+4x-1

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem uma EDO linear de primeira ordem não homogênea dada por
y'(x)+y=x+4x-1,
vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Reconhecer a forma padrão e calcular o fator integrante. A equação está na forma
y'+P(x)y=Q(x)
com
P(x)=1, Q(x)=x+4x-1
O fator integrante é
mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicar a EDO por mu(x) e reescrever o lado esquerdo como derivada de produto. Fazendo isso, ficamos com
e^x y'+e^x y = e^xx+4x-1
o que equivale a
l(e^x yr)' = e^xx+4x-1

Passo 4

Integrar os dois lados em relação a x. No lado direito, primeiro fazemos a divisão
x+4x-1=1+5x-1,
então
integral e^xx+4x-1,dx = integral e^x,dx +5integrale^xx-1,dx = e^x +5,Ei(x-1)+C,
onde Ei(x-1) é a função integral exponencial.

Passo 5

Isolar y. Como
e^x y = e^x +5,Ei(x-1)+C,
dividindo por e^x obtemos a solução geral:

Passo 6

final_answer

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