Um tubo de ensaio é colocado em um dispositivo rotativo que gradualmente posiciona o tubo até a posição horizontal. Se a rotação for de 1000 [rpm], estime a pressão no fundo do tubo (de pequeno diâmetro). O tubo tem 12 [cm] de comprimento, contém água e o topo está a 4[\mathrm{~cm}] do eixo de rotação.

Passo 1

O enunciado descreve um tubo de ensaio de comprimento \,12\text{ cm}\, contendo água, girando com velocidade de 1000\text{ rpm} em um eixo. O topo do líquido está a 4\text{ cm} do eixo e o fundo a 4+12=16\text{ cm}. O objetivo é estimar a pressão no fundo devido à aceleração centrífuga, usando mecânica dos fluidos em referencial rotativo.

Passo 2

Primeiro, convertemos para o SI e calculamos a velocidade angular \omega e as posições radiais:
\rho_{\rm água}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á
\displaystyle r_1=0,04\\ \mathrm{m},\quad r_2=0,16\\ \mathrm{m}
\displaystyle \omega=2\pi\;\frac{1000}{60}\\ \mathrm{rad/s}=\frac{100\pi}{3}\approx104{,}7\\ \mathrm{rad/s}

Passo 3

Em equilíbrio no referencial giratório, a variação da pressão com o raio satisfaz
\frac{dp}{dr}=\rho\,\omega^2\,r.
Integramos de r_1 (topo) a r_2 (fundo) para achar a diferença de pressão \Delta p=p_2-p_1.

Passo 4

Escrevemos a integral e a avaliamos:
\Delta p=\int_{r_1}^{r_2}\rho\,\omega^2\,r\,dr =\rho\,\omega^2\;\frac{r_2^2-r_1^2}{2}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
r_2^2-r_1^2=0,16^2-0,04^2=0,0256-0,0016=0,024\\ \mathrm{m^2},
\Delta p=1000\cdot(104{,}7)^2\cdot\frac{0,024}{2} =1000\cdot10969\cdot0,012 \approx1,32\times10^5\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

A pressão no fundo do tubo, em relação ao topo (aberto ao ambiente), é aproximadamente
1{,}3\times10^5\\ \mathrm{Pa}.

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