(25 pts) Considere os vetores \vec{u}=3 \vec{i}-3 \vec{j}+2 \vec{k} e \vec{v}=2 \vec{i}-3 \vec{j}
(a) (5 \mathrm{pts})
Considere o triângulo cujos dois lados são determinados pelos vetores \vec{u} e \vec{v}. Encontre um vetor \vec{w} correspondente ao terceiro lado.
(b) ( 5 pts ) Determine o ângulo entre os vetores \vec{v} e \vec{w}.
(c) ( 15 pts ) Calcule a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{u}=3\vec{i}-3\vec{j}+2\vec{k} e \vec{v}=2\vec{i}-3\vec{j} e pede:
(a) um vetor \vec{w} que fecha o triângulo cujos dois lados são \vec{u} e \vec{v};
(b) o ângulo entre \vec{v} e \vec{w};
(c) a área do triângulo.
Vamos usar operações com vetores: subtração para fechar o polígono, produto escalar e norma para o ângulo, produto vetorial para a área.

Passo 2

Para fechar o triângulo formados por \vec{u} e \vec{v} tomando ambas a partir da mesma origem, basta escolher
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Logo
\vec{w}=(2,-3,0)-(3,-3,2)=(-1,0,-2).

Passo 3

O ângulo \theta entre \vec{v} e \vec{w} satisfaz
\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\|\vec{v}\|\;\|\vec{w}\|}.
Calculamos
\vec{v}\cdot\vec{w}=2\cdot(-1)+(-3)\cdot0+0\cdot(-2)=-2,
\|\vec{v}\|=\sqrt{2^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{13}, \quad \|\vec{w}\|=\sqrt{(-1)^2+0^2+(-2)^2}=\sqrt{5}.
Então
\theta=\operatorname{arccos}\bigl(-2/(\sqrt{13}\,\sqrt{5})\bigr).

Passo 4

A área do triângulo com lados \vec{u} e \vec{v} é
\frac12\|\vec{u}\times\vec{v}\|.
Primeiro o produto vetorial
\vec{u}\times\vec{v} =\begin{vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\\\ 3&-3&2\\\\ 2&-3&0 \end{vmatrix} =6\,\vec{i}+4\,\vec{j}-3\,\vec{k}.
\|\vec{u}\times\vec{v}\| =\sqrt{6^2+4^2+(-3)^2} =\sqrt{61}.
Logo a área é
\frac12\sqrt{61}.

Resposta

(a) \vec{w}=(-1,0,-2)
(b) \theta=\operatorname{arccos}\bigl(-2/(\sqrt{13}\,\sqrt{5})\bigr)
(c) \displaystyle \tfrac12\sqrt{61}

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