(30 pts) Considere os vetores \vec{u}=(2,3,0) e \vec{v}=(2,0,3).
(a) (20 pts) Determine um vetor unitário \vec{w} sabendo que \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e que forma um ângulo agudo com \vec{k}.
(b) (10 pts) Calcule o volume do paralelepípedo determinada pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \vec u=(2,3,0) e \vec v=(2,0,3). Na parte (a) queremos um vetor unitário \vec w ortogonal a \vec u e a \vec v e que forme ângulo agudo com o eixo \vec k=(0,0,1). Isso envolve produto vetorial e normalização. Na parte (b) pede-se o volume do paralelepípedo gerado por \vec u,\vec v,\vec w, que é o valor absoluto do produto misto \vec u\cdot(\vec v\times\vec w).
Passo 2
Para achar um vetor ortogonal a \vec u e \vec v usamos o produto vetorial
Precisamos que \vec{w} forme ângulo agudo com \vec{k}, i.e., \vec{w} \cdot \vec{k} > 0. O vetor (9,-6,-6) tem componente em k negativa, então tomamos o oposto