(30 pts) Considere os vetores \vec{u}=(2,3,0) e \vec{v}=(2,0,3).
(a) (20 pts) Determine um vetor unitário \vec{w} sabendo que \vec{w} é ortogonal a \vec{u} e \vec{v} e que forma um ângulo agudo com \vec{k}.
(b) (10 pts) Calcule o volume do paralelepípedo determinada pelos vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(2,3,0) e \vec v=(2,0,3). Na parte (a) queremos um vetor unitário \vec w ortogonal a \vec u e a \vec v e que forme ângulo agudo com o eixo \vec k=(0,0,1). Isso envolve produto vetorial e normalização. Na parte (b) pede-se o volume do paralelepípedo gerado por \vec u,\vec v,\vec w, que é o valor absoluto do produto misto \vec u\cdot(\vec v\times\vec w).

Passo 2

Para achar um vetor ortogonal a \vec u e \vec v usamos o produto vetorial
\vec u\times\vec v = \det\begin{pmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\ 2&3&0\\\ 2&0&3\end{pmatrix} = (3\cdot3-0\cdot0)\,\mathbf{i}-\bigl(2\cdot3-0\cdot2\bigr)\,\mathbf{j} +(2\cdot0-3\cdot2)\,\mathbf{k} =(9,-6,-6).

Passo 3

Precisamos que \vec{w} forme ângulo agudo com \vec{k}, i.e., \vec{w} \cdot \vec{k} > 0. O vetor (9,-6,-6) tem componente em k negativa, então tomamos o oposto
\vec{n} = -(9,-6,-6) = (-9,6,6),
que satisfaz \vec{n} \cdot \vec{k} = 6 > 0.

Passo 4

Normalizamos \vec n. Seu módulo é
\|\vec n\|=\sqrt{(-9)^2+6^2+6^2}=\sqrt{81+36+36}=\sqrt{153}=3\sqrt{17}.
Logo um vetor unitário é
\vec w=\frac{\vec n}{\|\vec n\|} =\frac{(-9,6,6)}{3\sqrt{17}} =\frac{(-3,2,2)}{\sqrt{17}}.

Passo 5

O volume do paralelepípedo é
V=\bigl|\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)\bigr|.
Como \vec w é \pm(\vec u\times\vec v)/\|\vec u\times\vec v\|, fica
V=\frac{\bigl|\vec u\cdot\bigl(\vec v\times(\vec u\times\vec v)\bigr)\bigr|}{\|\vec u\times\vec v\|} =\frac{\|\vec u\times\vec v\|^2}{\|\vec u\times\vec v\|} =\|\vec u\times\vec v\| =\sqrt{153}=3\sqrt{17}.

Resposta

(a) \displaystyle \vec w=\frac{(-3,2,2)}{\sqrt{17}}.
(b) \displaystyle V=3\sqrt{17}.

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