Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo, A, B e C são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )Se A \cdot B=C e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.

Passo 1

O enunciado dá três matrizes A,B,C de ordens compatíveis e afirma que
A \cdot B = C
e que duas dessas matrizes são inversíveis. Queremos verificar se isso implica que a terceira também é inversível. O conteúdo envolvido é a propriedade de que o produto de matrizes inversíveis é inversível e como isolar fatores em uma igualdade matricial.

Passo 2

Suponha que A e B sejam inversíveis. Então o produto
C = A \cdot B
é o produto de duas matrizes inversíveis. E é um fato padrão da álgebra de matrizes que, se X e Y são inversíveis, então X Y também é inversível e
(XY)^{-1} = Y^{-1} X^{-1}.
Logo, nesse caso C também é inversível.

Passo 3

Suponha agora que A e C sejam inversíveis. Da igualdade
A \cdot B = C
podemos multiplicar à esquerda por A^{-1} para isolar B:
B = A^{-1} \cdot C.
Como produto de duas matrizes inversíveis, B também é inversível.

Passo 4

Finalmente, suponha que B e C sejam inversíveis. Da mesma forma, da igualdade
A \cdot B = C
multiplicamos à direita por B^{-1} para obter
A = C \cdot B^{-1}.
Como produto de duas matrizes inversíveis, A também é inversível.

Passo 5

Vimos que, em cada um dos três casos em que duas das matrizes são inversíveis, a terceira resulta ser produto de matrizes inversíveis e, portanto, também é inversível.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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