Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique sua resposta.
Nas afirmativas abaixo,
e
são matrizes de ordens apropriadas para as operações indicadas.
( )Se
e duas das matrizes são inversíveis, então a terceira também é.
( )Se
Passo 1
O enunciado dá três matrizes
de ordens compatíveis e afirma que
e que duas dessas matrizes são inversíveis. Queremos verificar se isso implica que a terceira também é inversível. O conteúdo envolvido é a propriedade de que o produto de matrizes inversíveis é inversível e como isolar fatores em uma igualdade matricial.
Passo 2
Suponha que
e
sejam inversíveis. Então o produto
é o produto de duas matrizes inversíveis. E é um fato padrão da álgebra de matrizes que, se
e
são inversíveis, então
também é inversível e
Logo, nesse caso
também é inversível.
Passo 3
Suponha agora que
e
sejam inversíveis. Da igualdade
podemos multiplicar à esquerda por
para isolar
:
Como produto de duas matrizes inversíveis,
também é inversível.
Passo 4
Finalmente, suponha que
e
sejam inversíveis. Da mesma forma, da igualdade
multiplicamos à direita por
para obter
Como produto de duas matrizes inversíveis,
também é inversível.
Passo 5
Vimos que, em cada um dos três casos em que duas das matrizes são inversíveis, a terceira resulta ser produto de matrizes inversíveis e, portanto, também é inversível.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.