(30 pts) Dada a reta
\beta: \quad \frac{\sqrt{3}-x}{3}=y-\frac{1}{2}=-\frac{3 z-\pi}{6}
(a) (20 pts) Determine a equação reduzida em função de y da reta r que passa pelo ponto (2,-1,1) e é paralela à reta dada \beta.
(b) ( 10 pts ) Determine o valor da constante m para que o ponto ( m, 2 m, 5 ) pertença a r.

Passo 1

O enunciado dá a reta \beta em forma simétrica no espaço e pede duas coisas:
– (a) a equação reduzida de uma reta r paralela a \beta que passa por (2,-1,1), expressa em função de y;
– (b) o valor de m para que (m,2m,5) pertença a r.
O conteúdo é equações paramétricas e reduzidas de retas em \mathbb{R}^3 e condição de pertencimento.

Passo 2

Começamos extraindo o vetor direcional de \beta. Da forma
\frac{\sqrt{3}-x}{3}=y-\frac12=-\frac{3z-\pi}{6}=t
temos
x=\sqrt3-3t,\quad y=\tfrac12+t,\quad 3z-\pi=-6t\;\Rightarrow\;z=\frac\pi3-2t.
Logo o vetor direcional é \vec d =(-3,1,-2).

Passo 3

A reta r, paralela a \beta e passando por P=(2,-1,1), tem equação paramétrica
(x,y,z)=(2,-1,1)+t(-3,1,-2),
ou seja
x=2-3t,\quad y=-1+t,\quad z=1-2t.

Passo 4

Para obter a forma reduzida em função de y, isolamos t em y=-1+t, de onde
t=y+1.
Substituindo em x e z vem
x=2-3(y+1)= -3y-1,
z=1-2(y+1)= -2y-1.
Portanto a forma reduzida de r é
\boxed{x=-3y-1,\quad z=-2y-1.}

Passo 5

Queremos (m,2m,5) em r. Seu y-valor é 2m, logo no ponto de r de mesma ordenada temos
x_{\!r}=-3(2m)-1=-6m-1,\quad z_{\!r}=-2(2m)-1=-4m-1.
Para coincidirem com (m,2m,5) impomos
m=-6m-1,
5=-4m-1.

Passo 6

Da primeira equação segue m=-1/7. Da segunda segue m=-3/2. São valores distintos, logo não há nenhum m que satisfaça ambas simultaneamente.

Resposta

(a) x=-3y-1,\quad z=-2y-1.
(b) Não existe valor de m que faça (m,2m,5) pertencer a r.

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