Um sistema LTI responde as seguintes entradas com as saídas correspondentes: se
, então
e se
, então
. Encontre
para as seguintes entradas:
x(t)=2 u(t)-2 u(t-1)
x(t)=2 u(t)-2 u(t-1)
Passo 1
O enunciado nos dá explicitamente duas respostas do sistema LTI (peguei estes dados do enunciado):
- Para a entrada
a saída é . - Para a entrada
a saída é .
O que se pede:
- Encontrar a saída
quando a entrada é .
Passo 2
Interpretação útil (fato sobre sistemas LTI que vou usar): para um sistema LTI causal, a resposta ao degrau unitário
, chamada de resposta ao degrau
, está relacionada à resposta ao impulso
pela derivada:
Explicando devagar:
é a saída quando a entrada é
. Como
é a integral do impulso
(isto é,
), ao derivar a resposta ao degrau recupera-se a resposta ao impulso. Para sistemas causais sem salto em
em
não aparece termo em
extra; aqui
, então não há termo delta adicional.
Do enunciado eu peguei
. Vou derivar isso para obter
.
Passo 3
Derivando
:
Para
temos
e
. Para
temos
e
. A derivada para
é
Não há termo em
porque
é contínua em
(valor 0 à esquerda e à direita). Portanto, a resposta ao impulso é
Passo 4
Verificação curta (opcional, mas dá segurança): a transformada de frequência de
é
. Em
isso vale
, que tem módulo
e fase
. Isso bate com a saída observada para
(ganho
, defasagem
), então
está correta.
Passo 5
Agora uso linearidade e invariância temporal do sistema para obter a saída para
.
Pela linearidade,
onde
é a resposta ao degrau
e
é a resposta ao degrau deslocado
.
Pela invariância temporal, a resposta ao degrau deslocado é o degrau-resposta deslocado:
. Como já sabemos
, temos
Substituindo
:
Ou seja,
Passo 6
Simplifico e exponho em forma peça a peça (útil para avaliar em uma prova):
-
Para
: e . -
Para
: e
- Para
: e
Uma forma alternativa para
é
, pois
.
Resposta
[y(t)=4\bigl(1-e{-t}\bigr)u(t)-4\bigl(1-e{-(t-1)}\bigr)u(t-1))
(y(t)=
]]