(0.25 pts) A intensidade de uma fonte radioativa é dada por
I=I_{0} e^{-\alpha t} .
Por meio de observação, temos que
t 0,1 0,2 0,5 0,6 0,8
I 3,5 1,7 1,4 1,0 0,5
Determine I_{0} e \alpha via método dos mínimos quadrados.

Passo 1

O enunciado dá o modelo exponencial
I = I_{0} e^{-\alpha t}
com observações de t e I. Queremos ajustar I_{0} e \alpha pelo método dos mínimos quadrados. Para isso, vamos linearizar o modelo tomando logaritmo natural, reduzindo ao ajuste linear de reta.

Passo 2

Tomando \ln em ambos os lados, obtemos
\ln I = \ln I_{0} - \alpha\,t.
Definimos
y = \ln I,\quad x = t,\quad A = \ln I_{0},\quad B = -\alpha,
de modo que o modelo vira
y = A + B x.

Passo 3

Calculamos os valores de x_{i}=t_{i}, y_{i}=\ln I_{i} e as somas necessárias:
\begin{aligned} &(x_{i})=(0{,}1,0{,}2,0{,}5,0{,}6,0{,}8),\\\ &(y_{i})=(\ln3{,}5,\;\ln1{,}7,\;\ln1{,}4,\;\ln1{,}0,\;\ln0{,}5)\\\ &\quad\approx(1{,}25276,\;0{,}53063,\;0{,}33647,\;0,\;-0{,}69315),\\\ &\sum x_{i}=2{,}2,\quad \sum y_{i}\approx1{,}42672,\\\ &\sum x_{i}y_{i}\approx -0{,}15488,\quad \sum x_{i}^{2}=1{,}30. \end{aligned}

Passo 4

Pela fórmula dos mínimos quadrados para reta y= A + Bx:
B=\frac{n\sum x_{i}y_{i}-\sum x_{i}\sum y_{i}}{n\sum x_{i}^{2}-(\sum x_{i})^{2}},
A=\frac{\sum y_{i}-B\sum x_{i}}{n},
com n=5. Substituindo,
B=\frac{5\cdot(-0{,}15488)-2{,}2\cdot1{,}42672}{5\cdot1{,}30-(2{,}2)^{2}}\approx -2{,}3570,
A=\frac{1{,}42672-(-2{,}3570)\cdot2{,}2}{5}\approx1{,}32243.

Passo 5

Voltando às grandezas originais,
\ln I_{0}=A\approx1{,}32243\quad\Longrightarrow\quad I_{0}=e^{A}\approx e^{1{,}32243}\approx3{,}75,
-\alpha=B\quad\Longrightarrow\quad \alpha=-B\approx2{,}36.

Resposta

I_{0}\approx3{,}75 \alpha\approx2{,}36

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