(0.25 pts) Considere que a relação entre resistência de um fio R e seu diâmetro d seja representa por uma reta. Para o conjunto de dados experimentais abaixo, aproxime o valor de R(d=1.5), utilizando o método dos mínimos quadrados.
\begin{array}{cccccc} d & 0.4 & 0.7 & 0.8 & 0.9 & 1.3 \\\ R & 5 & 4.3 & 4.1 & 3.8 & 3 \end{array}

Passo 1

O enunciado pede para ajustar uma reta à relação entre diâmetro d e resistência R usando o método dos mínimos quadrados e, em seguida, estimar R para d=1,5. O conteúdo envolvido é regressão linear simples, onde precisamos calcular média dos dados, as somas de quadrados centradas S_{xx} e S_{xy}, obter coeficiente angular e linear da reta e, por fim, fazer a predição.

Passo 2

Calcular as médias
\bar d = \frac{0,4 + 0,7 + 0,8 + 0,9 + 1,3}{5} = 0,82, \quad \bar R = \frac{5 + 4{,}3 + 4{,}1 + 3{,}8 + 3}{5} = 4{,}04.

Passo 3

Calcular
S_{xx} = \sum_{i=1}^5 (d_i - \bar d)^2 = (0,4 - 0,82)^2 + \cdots + (1,3 - 0,82)^2 = 0,428
S_{xy} = \sum_{i=1}^5 (d_i - \bar d)(R_i - \bar R) = -0,954.

Passo 4

Determinar coeficientes da reta \displaystyle R(d) = a + b\,d:
b = \frac{S_{xy}}{S_{xx}} = \frac{-0,954}{0,428} \approx -2{,}23, \quad a = \bar R - b\,\bar d = 4{,}04 - (-2{,}23)(0,82) \approx 5{,}87.

Passo 5

Fazer a predição para d=1,5:
R(1,5) = 5{,}87 - 2{,}23 \times 1,5 \approx 2{,}52.

Resposta

O valor aproximado é R(1,5)\approx2{,}52.

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