Calcule as potências.
\left(\cos \frac{\pi}{8}+i \sin \frac{\pi}{8}\right)^{12}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a potência
\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\bigr)^{12},
ou seja, elevar ao expoente 12 um número complexo dado na forma trigonométrica. O conteúdo principal aqui é o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Identificamos o módulo e o argumento desse número complexo. Como estamos diante de \cos\theta + i\sin\theta, o módulo é
r = 1
e o argumento é
\theta = \frac{\pi}{8}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, para um número complexo na forma trigonométrica vale
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^n = r^n\bigl(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\bigr).

Passo 4

Aqui temos r=1 e n=12, logo
\bigl(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\bigr)^{12} = \cos\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{8}\Bigr) + i\sin\Bigl(12\cdot\frac{\pi}{8}\Bigr) = \cos\frac{12\pi}{8} + i\sin\frac{12\pi}{8}.
Como
\frac{12\pi}{8} = \frac{3\pi}{2},
ficamos com \cos\frac{3\pi}{2} e \sin\frac{3\pi}{2}.

Passo 5

Sabemos que
\cos\frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin\frac{3\pi}{2} = -1.
Portanto
\cos\frac{3\pi}{2} + i\sin\frac{3\pi}{2} = 0 + i(-1) = -\,i.

Resposta

-\,i

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