( 10 pts ) Calcule o valor dos seguintes limites. Caso não exista, justifique o motivo.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y+5}{y^{2}-\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}y + 5}{y^{2} - \cos(x)}.
Este é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar que soma, produto e quociente de limites valem o quociente dos limites, desde que o limite do denominador seja diferente de zero. Também usaremos a continuidade de y^2 e de \cos(x).

Passo 2

Analisamos o numerador. Como x^{2}y\to0 quando (x,y)\to(0,0), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(x^{2}y + 5\bigr) = 0 + 5 = 5.

Passo 3

Analisamos o denominador. Como y^2\to0 e \cos(x)\to\cos(0)=1 por continuidade de \cos, segue
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\bigl(y^{2} - \cos(x)\bigr) = 0 - 1 = -1.
Esse resultado é diferente de zero, logo podemos aplicar a propriedade de quociente de limites.

Passo 4

Pela propriedade de quociente de limites, como o numerador tende a 5 e o denominador tende a -1\neq0, o limite da razão é
\frac{5}{-1} = -5.

Resposta

-5

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