1. (25 pts) Um sistema causal, linear e invariante no tempo possui a seguinte resposta ao degrau unitário
s(t)=e^{-t}-e^{-2 t}, \quad t \geq 0
a) ( 10 pts) Determine se o sistema é BIBO estável.
b) (15 pts) Determine a saída y(t) se a entrada agora for x(t)=u(t)-u(t-2).

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (todas tiradas do enunciado):
  • O sistema é causal, linear e invariante no tempo.
  • A resposta ao degrau unitário é s(t)=e^{-t}-e^{-2 t},\qquad t\ge 0.
O enunciado pede:
(a) Determinar se o sistema é BIBO estável.
(b) Determinar a saída y(t) quando a entrada é x(t)=u(t)-u(t-2).

Passo 2

Entendendo as relações fundamentais (aulas rápidas, passo a passo).
  • Para um sistema LTI causal, a resposta ao degrau s(t) e a resposta ao impulso h(t) estão relacionadas por
s(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,d\tau,\qquad t\ge 0.
Isso significa que h(t) é a derivada de s(t) (no sentido usual, mais uma possível componente \delta(t) se s(t) tiver salto em t=0):
h(t)=\frac{d}{dt}s(t)\quad\text{(para }t>0\text{)} ,
e se s(0)\neq 0 haveria um termo impulsivo em h(t). Como s(0)=e^{0}-e^{0}=0, não há salto em t=0 e, portanto, não aparece componente \delta(t).
Agora calculemos h(t) derivando s(t):
\frac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t},\qquad \frac{d}{dt}\bigl(-e^{-2t}\bigr)=2e^{-2t},
portanto, para t>0,
h(t)=-e^{-t}+2e^{-2t},\qquad t>0,
e h(t)=0 para t<0 por causalidade. (E não há \delta em t=0.)

Passo 3

Critério de estabilidade BIBO (explicação clara):
  • Um sistema LTI é BIBO estável se e somente se sua resposta ao impulso for absolutamente integrável:
\int_{-\infty}^{\infty} |h(t)|\,dt<\infty.
Como o sistema é causal, isso reduz-se a \int_{0}^{\infty}|h(t)|\,dt<\infty.
Vamos estimar essa integral: pela desigualdade triangular,
|h(t)|=\bigl|-e^{-t}+2e^{-2t}\bigr|\le e^{-t}+2e^{-2t}.
Integramos o lado direito (que é mais fácil e dá um majorante finito):
\int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = 1, \qquad \int_{0}^{\infty} 2e^{-2t}\,dt = 2\cdot\frac{1}{2}=1.
Logo
\int_{0}^{\infty}|h(t)|\,dt \le \int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-t}+2e^{-2t}\bigr)\,dt = 1+1=2<\infty.
Conclusão: a resposta ao impulso é absolutamente integrável, então o sistema é BIBO estável.

Passo 4

Calcular y(t) para x(t)=u(t)-u(t-2) (estratégia e razão).
  • Para um sistema LTI, a saída é a convolução y(t)=h(t)*x(t).
  • Usamos linearidade: x(t)=u(t)-u(t-2) implica
y(t)=h*u(t)-h*u(t-2).
Mas h*u(t)=s(t) por definição de s(t) (resposta ao degrau). A convolução com um degrau atrasado gera a resposta ao degrau atrasada multiplicada por u(t-2). Em termos práticos:
y(t)=s(t)-s(t-2)\,u(t-2).
Explicando por integral (verificação passo a passo): pela definição de convolução,
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
Como x(t)=1 para 0\le t<2 e zero fora disso, para cada t a integral reduz a integrar h(\tau) sobre o intervalo em que x(t-\tau)=1. Mudando variável dá a forma mais intuitiva:
y(t)=\int_{t-2}^{t} h(\theta)\,d\theta,
onde é entendido que o integrando só vale onde h(\theta) está definido (i.e. \theta\ge 0). Desse modo, obtemos a forma em partes:
  • Se t<0: a entrada é zero antes de 0 e o sistema é causal, logo y(t)=0.
  • Se 0\le t<2: o intervalo [t-2,t] intersectado com [0,\infty) é [0,t], então
y(t)=\int_{0}^{t} h(\theta)\,d\theta = s(t).
  • Se t\ge 2: o intervalo é [t-2,t]\subset[0,\infty), então
y(t)=\int_{t-2}^{t} h(\theta)\,d\theta = s(t)-s(t-2).

Passo 5

Substituir s(t) e simplificar explicitamente (resultado final).
  • Para 0\le t<2:
y(t)=s(t)=e^{-t}-e^{-2t}.
  • Para t\ge 2:
\begin{aligned} y(t)&=s(t)-s(t-2)\\\ &=\bigl(e^{-t}-e^{-2t}\bigr)-\bigl(e^{-(t-2)}-e^{-2(t-2)}\bigr)\\\ &=e^{-t}-e^{-2t}-e^{-t+2}+e^{-2t+4}\\\ &=e^{-t}\bigl(1-e^{2}\bigr)+e^{-2t}\bigl(e^{4}-1\bigr). \end{aligned}
Resumo das três regiões (incluindo t<0): para todo t,
  • t<0:\; y(t)=0.
  • 0\le t<2:\; y(t)=e^{-t}-e^{-2t}.
  • t\ge 2:\; y(t)=e^{-t}-e^{-2t}-e^{-(t-2)}+e^{-2(t-2)}, que pode ser escrita como \;y(t)=e^{-t}\bigl(1-e^{2}\bigr)+e^{-2t}\bigl(e^{4}-1\bigr).

Resposta

(a) Sim. O sistema é BIBO estável, pois a resposta ao impulso é h(t)=-e^{-t}+2e^{-2t} para t>0 e \displaystyle\int_{0}^{\infty}|h(t)|\,dt\le 2<\infty.
(b) A saída y(t) é
\begin{cases} 0, & t<0,\\[4pt] e^{-t}-e^{-2t}, & 0\le t<2,\\[6pt] e^{-t}-e^{-2t}-e^{-(t-2)}+e^{-2(t-2)}, & t\ge 2. \end{cases}]

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