Conclusão: a resposta ao impulso é absolutamente integrável, então o sistema é BIBO estável.
Passo 4
Calcular y(t) para x(t)=u(t)-u(t-2) (estratégia e razão).
Para um sistema LTI, a saída é a convolução y(t)=h(t)*x(t).
Usamos linearidade: x(t)=u(t)-u(t-2) implica
y(t)=h*u(t)-h*u(t-2).
Mas h*u(t)=s(t) por definição de s(t) (resposta ao degrau). A convolução com um degrau atrasado gera a resposta ao degrau atrasada multiplicada por u(t-2). Em termos práticos:
y(t)=s(t)-s(t-2)\,u(t-2).
Explicando por integral (verificação passo a passo): pela definição de convolução,
Como x(t)=1 para 0\le t<2 e zero fora disso, para cada t a integral reduz a integrar h(\tau) sobre o intervalo em que x(t-\tau)=1. Mudando variável dá a forma mais intuitiva:
y(t)=\int_{t-2}^{t} h(\theta)\,d\theta,
onde é entendido que o integrando só vale onde h(\theta) está definido (i.e. \theta\ge 0). Desse modo, obtemos a forma em partes:
Se t<0: a entrada é zero antes de 0 e o sistema é causal, logo y(t)=0.
Se 0\le t<2: o intervalo [t-2,t] intersectado com [0,\infty) é [0,t], então
y(t)=\int_{0}^{t} h(\theta)\,d\theta = s(t).
Se t\ge 2: o intervalo é [t-2,t]\subset[0,\infty), então