(25 pts.) Suponha a transformação do sistema de coordenadas cartesiano ( x, y, z ) para o sistema de coordenadas esféricas (r, \theta, \varphi) :
(a) Obtenha as leis de transformação x=x(r, \theta, \varphi), y=y(r, \theta, \varphi) e z=z(r, \theta, \varphi).
(b) Determine os novos versores \{\hat{r}, \hat{\theta}, \hat{\varphi}\} neste sistema de coordenadas em função dos versores cartesianos.
(c) Determine as taxas de variação no tempo destes versores \{\dot{\hat{r}}, \dot{\hat{\theta}}, \dot{\hat{\varphi}}\}.
(d) Determine os vetores posição \vec{r}, velocidade \vec{v}=\dot{\vec{r}}, e aceleração \vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}} neste sistema de coordenadas. Interprete cada componente destes vetores, se possível.
(e) O vetor momento angular na Mecânica Clássica é definido como \vec{L}=\vec{r} \times(m \vec{v}). Obtenha-o em coordenadas esféricas.
(f) Escreva o operador nabla \vec{\nabla} em coordenadas esféricas.
(g) O operador momento angular na Mecânica Quântica é definido como \overrightarrow{\mathbb{L}}=-i \hbar \vec{r} \times \vec{\nabla}. Obtenha-o em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado pede resolver partes (a) a (g) para a transformação de coordenadas cartesianas (x,y,z) para esféricas (r,\theta,\varphi). Especificamente, cada item é:
(a) Encontrar as leis de transformação x=x(r,\theta,\varphi),\;y=y(r,\theta,\varphi),\;z=z(r,\theta,\varphi).
(b) Determinar os versores unitários \{\hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}\} do sistema esférico escritos em função dos versores cartesianos \{\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\}.
(c) Calcular as derivadas temporais \dot{\hat{r}},\dot{\hat{\theta}},\dot{\hat{\varphi}} supondo r=r(t),\;\theta=\theta(t),\;\varphi=\varphi(t).
(d) Escrever o vetor posição \vec{r}, a velocidade \vec{v}=\dot{\vec{r}} e a aceleração \vec{a}=\ddot{\vec{r}} no sistema esférico e interpretar cada componente.
(e) Expressar o momento angular clássico \vec{L}=\vec{r}\times(m\vec{v}) em coordenadas esféricas.
(f) Escrever o operador nabla \vec{\nabla} em coordenadas esféricas.
(g) Escrever o operador momento angular quântico \overrightarrow{\mathbb{L}}=-i\hbar\,\vec{r}\times\vec{\nabla} em coordenadas esféricas.
Informações relevantes dadas/assumidas (importante para a resolução): as coordenadas esféricas usam r\ge0 como distância radial, \theta\in[0,\pi] como o ângulo polar (colatitude, contado a partir do eixo z) e \varphi\in[0,2\pi) como o ângulo azimutal no plano xy. Não estamos usando nenhuma convenção exótica: a convenção usual da física será aplicada.

Passo 2

(a) Leis de transformação x,y,z em função de (r,\theta,\varphi).
A ideia geométrica: projetamos o ponto de raio r sobre o plano xy com comprimento r\sin\theta, e sobre o eixo z com comprimento r\cos\theta. No plano xy usamos o ângulo \varphi para decompor em x e y. Assim:
x = r\sin\theta\cos\varphi,
y = r\sin\theta\sin\varphi,
z = r\cos\theta.
Explicação das variáveis: \;r é distância do ponto à origem; \theta é o ângulo entre o raio e o eixo z; \varphi é o ângulo entre a projeção no plano xy e o eixo x.

Passo 3

(b) Determinar os versores \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi} em função de \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}.
Começo escrevendo o vetor posição em coordenadas cartesianas usando (a):
\vec{r} = x\hat{\imath}+y\hat{\jmath}+z\hat{k} = r\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath} + r\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath} + r\cos\theta\,\hat{k}.
Os versores esféricos podem ser obtidos como derivadas parciais normalizadas:
\hat{r} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial r} (já normalizado porque \partial\vec r/\partial r tem módulo 1), \hat{\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial\vec r}{\partial\theta}, \hat{\varphi}=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}. Calculando essas derivadas obtemos os componentes:
\hat{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k},
\hat{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}-\sin\theta\,\hat{k},
\hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{\jmath}+0\cdot\hat{k}.
Verificação rápida (intuição): \hat{r} aponta radialmente; \hat{\theta} aponta na direção de aumento de \theta (para baixo em direção ao equador se \theta aumenta); \hat{\varphi} é tangente ao círculo de constante r,\theta (direção azimutal), e é unitário e ortogonal aos outros dois. Essas três são ortonormais e obedecem as regras do produto vetorial cíclico.

Passo 4

(c) Taxas de variação temporal dos versores \dot{\hat{r}},\dot{\hat{\theta}},\dot{\hat{\varphi}}.
Supondo que r=r(t),\;\theta=\theta(t),\;\varphi=\varphi(t), aplicamos a regra da cadeia às expressões dos versores do Passo 3. É mais simples usar as derivadas parciais (como aula rápida: derivada total de um versor depende de \dot\theta e \dot\varphi porque eles variam no tempo).
Usando \partial\hat{r}/\partial\theta=\hat{\theta} e \partial\hat{r}/\partial\varphi=\sin\theta\,\hat{\varphi}, obtemos
\dot{\hat{r}}=\frac{\partial\hat{r}}{\partial\theta}\dot{\theta}+\frac{\partial\hat{r}}{\partial\varphi}\dot{\varphi} =\dot{\theta}\,\hat{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}.
Para \hat{\theta}, usamos \partial\hat{\theta}/\partial\theta=-\hat{r} e \partial\hat{\theta}/\partial\varphi=\cos\theta\,\hat{\varphi}, o que dá
\dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}+\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\varphi}.
Para \hat{\varphi}, temos \partial\hat{\varphi}/\partial\varphi=-\sin\theta\,\hat{r}-\cos\theta\,\hat{\theta}, então
\dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{r}-\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\theta}.
Comentário rápido de entendimento: as variações temporais dos versores são combinações lineares dos outros versores — isso mostra que a base é não-inercial (muda de direção quando \theta ou \varphi mudam).

Passo 5

(d) Vetor posição \vec{r}, velocidade \vec{v}=\dot{\vec{r}}, e aceleração \vec{a}=\ddot{\vec{r}}, com interpretação das componentes.
Posição: em coordenadas esféricas a posição é simplesmente
\vec{r}=r\,\hat{r}.
Isto é intuitivo: comprimento radial vezes direção radial.
Velocidade: derivamos \vec r usando produto de função escalar por versor variável:
\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{r}\,\hat{r}+r\,\dot{\hat{r}}.
Substituindo \dot{\hat r} do Passo 4:
\vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}.
Interpretação das componentes:
  • \dot{r} é a velocidade radial (taxa de mudança do módulo r);
  • r\dot{\theta} é a velocidade tangencial na direção polar (variação de \theta gera movimento sobre um círculo de raio r);
  • r\dot{\varphi}\sin\theta é a velocidade tangencial azimutal (variação de \varphi gera movimento sobre um círculo de raio r\sin\theta).
Aceleração: derivando \vec{v} e usando as derivadas dos versores:
\vec{a}=\dot{\vec{v}}=(\ddot{r})\hat{r}+\dot{r}\dot{\hat{r}} + (\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta})\hat{\theta} + r\dot{\theta}\dot{\hat{\theta}} + (\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + r\ddot{\varphi}\sin\theta + r\dot{\varphi}\cos\theta\,\dot{\theta})\hat{\varphi} + r\dot{\varphi}\sin\theta\,\dot{\hat{\varphi}}
É mais claro recolher termos e usar as identidades do Passo 4; o resultado padrão (elegante) é:
\vec{a}=\bigl(\ddot{r}-r(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2\sin^2\theta)\bigr)\hat{r} +\bigl(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta\bigr)\hat{\theta} +\bigl(r\sin\theta\,\ddot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi}+2r\dot{\theta}\cos\theta\,\dot{\varphi}\bigr)\hat{\varphi}.
Interpretação física:
  • Componente radial \ddot{r}-r(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2\sin^2\theta): \ddot r é aceleração radial pura; os termos subtraídos são acelerações centrífugas/tangenciais que reduzem a componente radial quando há variação angular.
  • Componente polar (θ): há contribuição da aceleração angular r\ddot\theta, mais um termo de correção 2\dot r\dot\theta (força de Coriolis associada à mudança de base), menos um termo relacionado à rotação em \varphi que mistura ângulos.
  • Componente azimutal (φ): tem termo r\sin\theta\,\ddot\varphi (variação angular em φ), termos de “Coriolis” 2\dot r\sin\theta\,\dot\varphi e 2r\dot\theta\cos\theta\,\dot\varphi.

Passo 6

(e) Momento angular clássico \vec{L}=\vec{r}\times(m\vec{v}) em coordenadas esféricas.
Usando \vec r=r\hat r e \vec v do Passo 5:
\vec{L}=m\,\vec{r}\times\vec{v} = m\,(r\hat r)\times\bigl(\dot{r}\hat r + r\dot{\theta}\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi}\bigr).
Termos com \hat r\times\hat r anulam-se; restam:
\vec{L}=m r^2\bigl(\dot{\theta}\,\hat{r}\times\hat{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{r}\times\hat{\varphi}\bigr).
Usando \hat{r}\times\hat{\theta}=\hat{\varphi} e \hat{r}\times\hat{\varphi}=-\hat{\theta} obtém-se:
\boxed{\vec{L}=m r^2\bigl(\dot{\theta}\,\hat{\varphi}-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\theta}\bigr).}
Interpretação: momento angular tem apenas componentes angulares (não tem componente radial), combinando as velocidades angulares ponderadas por mr^2.

Passo 7

(f) Operador nabla \vec{\nabla} em coordenadas esféricas.
Rápida explicação: o operador \vec{\nabla} em coordenadas curvilíneas com fatores escala h_r,h_\theta,h_\varphi (aqui h_r=1,\;h_\theta=r,\;h_\varphi=r\sin\theta) toma a forma padrão. O gradiente de um escalar f é
\vec{\nabla} f = \hat{r}\,\frac{\partial f}{\partial r} + \hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial\theta} + \hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial\varphi}.
Portanto, como operador vetorial:
\boxed{\displaystyle \vec{\nabla} = \hat{r}\,\frac{\partial }{\partial r} \;+\; \hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial\theta} \;+\; \hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial\varphi}. }
Observação: este é o operador gradiente; outras formas como divergente ou laplaciano exigem fatores adicionais, mas o enunciado pedia o \vec{\nabla} (operador de gradiente), então entregamos esta forma.

Passo 8

(g) Operador momento angular quântico \overrightarrow{\mathbb{L}}=-i\hbar\,\vec{r}\times\vec{\nabla} em coordenadas esféricas.
Primeiro, nota: quando aplicamos \vec{r}\times\vec{\nabla} usando a forma de \vec{\nabla} do Passo 7, o resultado atua apenas nas derivadas angulares (pois os termos com \partial/\partial r cancelam ao formar o produto vetorial com \vec r). As componentes cartesianas clássicas transformam-se, e as formas usuais em coordenadas angulares são:
componentes do operador (formas tradicionais e úteis):
\mathbb{L}_x = i\hbar\Bigl(\sin\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\cos\varphi\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr),
\mathbb{L}_y = i\hbar\Bigl(-\cos\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\sin\varphi\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr),
\mathbb{L}_z = -i\hbar\,\frac{\partial}{\partial\varphi}.
Explicação rápida: \mathbb{L}_z é simples porque rotações em torno do eixo z correspondem a variações de \varphi. Os sinais e fatores \cot\theta aparecem das transformações de \partial_x,\partial_y para \partial_\theta,\partial_\varphi e da geometria esférica.
Também é muito útil a forma do quadrado do momento angular (operador \mathbb{L}^2), que aparece frequentemente na QM:
\mathbb{L}^2 = -\hbar^2\!\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right].
Se quisermos a forma vetorial em base esférica (apenas para interpretação), note que \overrightarrow{\mathbb{L}} age apenas nas direções tangenciais; em termos dos operadores diferenciais acima podemos escrever formalmente
\overrightarrow{\mathbb{L}} = \hat{\theta}\,(\text{op}_\theta)+\hat{\varphi}\,(\text{op}_\varphi),
mas a forma prática e amplamente usada são as componentes \mathbb{L}_x,\mathbb{L}_y,\mathbb{L}_z e \mathbb{L}^2 dadas acima.

Resposta

(a) x = r\sin\theta\cos\varphi,\;y = r\sin\theta\sin\varphi,\;z = r\cos\theta.
(b) \displaystyle \hat{r}=\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k},
\displaystyle \hat{\theta}=\cos\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\cos\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}-\sin\theta\,\hat{k},
\displaystyle \hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{\imath}+\cos\varphi\,\hat{\jmath}.
(c) \displaystyle \dot{\hat{r}}=\dot{\theta}\,\hat{\theta}+\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi},
\displaystyle \dot{\hat{\theta}}=-\dot{\theta}\,\hat{r}+\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\varphi},
\displaystyle \dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{r}-\dot{\varphi}\cos\theta\,\hat{\theta}.
(d) \displaystyle \vec{r}=r\,\hat{r},
\displaystyle \vec{v}=\dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta}+r\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\varphi},
\displaystyle \vec{a}=(\ddot{r}-r(\dot{\theta}^2+\dot{\varphi}^2\sin^2\theta))\hat{r}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta)\hat{\theta}+(r\sin\theta\,\ddot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\,\dot{\varphi}+2r\dot{\theta}\cos\theta\,\dot{\varphi})\hat{\varphi}.
(e) \displaystyle \vec{L}=m r^2\bigl(\dot{\theta}\,\hat{\varphi}-\dot{\varphi}\sin\theta\,\hat{\theta}\bigr).
(f) \displaystyle \vec{\nabla}=\hat{r}\,\frac{\partial}{\partial r}+\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+\hat{\varphi}\,\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}.
(g) \displaystyle \mathbb{L}_x=i\hbar\Bigl(\sin\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\cos\varphi\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr),
\displaystyle \mathbb{L}_y=i\hbar\Bigl(-\cos\varphi\,\frac{\partial}{\partial\theta}+\sin\varphi\cot\theta\,\frac{\partial}{\partial\varphi}\Bigr),
\displaystyle \mathbb{L}_z=-i\hbar\,\frac{\partial}{\partial\varphi},
e
\displaystyle \mathbb{L}^2=-\hbar^2\!\left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\!\Bigl(\sin\theta\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigr)+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}\right].

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