(25 pts.) Suponha a transformação do sistema de coordenadas cartesiano (
) para o sistema de coordenadas esféricas
:
(a) Obtenha as leis de transformação
e
.
(b) Determine os novos versores
neste sistema de coordenadas em função dos versores cartesianos.
(c) Determine as taxas de variação no tempo destes versores
.
(d) Determine os vetores posição
, velocidade
, e aceleração
neste sistema de coordenadas. Interprete cada componente destes vetores, se possível.
(e) O vetor momento angular na Mecânica Clássica é definido como
. Obtenha-o em coordenadas esféricas.
(f) Escreva o operador nabla
em coordenadas esféricas.
(g) O operador momento angular na Mecânica Quântica é definido como
. Obtenha-o em coordenadas esféricas.
(a) Obtenha as leis de transformação
(b) Determine os novos versores
(c) Determine as taxas de variação no tempo destes versores
(d) Determine os vetores posição
(e) O vetor momento angular na Mecânica Clássica é definido como
(f) Escreva o operador nabla
(g) O operador momento angular na Mecânica Quântica é definido como
Passo 1
O enunciado pede resolver partes (a) a (g) para a transformação de coordenadas cartesianas
para esféricas
. Especificamente, cada item é:
(a) Encontrar as leis de transformação
.
(b) Determinar os versores unitários
do sistema esférico escritos em função dos versores cartesianos
.
(c) Calcular as derivadas temporais
supondo
.
(d) Escrever o vetor posição
, a velocidade
e a aceleração
no sistema esférico e interpretar cada componente.
(e) Expressar o momento angular clássico
em coordenadas esféricas.
(f) Escrever o operador nabla
em coordenadas esféricas.
(g) Escrever o operador momento angular quântico
em coordenadas esféricas.
Informações relevantes dadas/assumidas (importante para a resolução): as coordenadas esféricas usam
como distância radial,
como o ângulo polar (colatitude, contado a partir do eixo
) e
como o ângulo azimutal no plano
. Não estamos usando nenhuma convenção exótica: a convenção usual da física será aplicada.
Passo 2
(a) Leis de transformação
em função de
.
A ideia geométrica: projetamos o ponto de raio
sobre o plano
com comprimento
, e sobre o eixo
com comprimento
. No plano
usamos o ângulo
para decompor em
e
. Assim:
Explicação das variáveis:
é distância do ponto à origem;
é o ângulo entre o raio e o eixo
;
é o ângulo entre a projeção no plano
e o eixo
.
Passo 3
(b) Determinar os versores
em função de
.
Começo escrevendo o vetor posição em coordenadas cartesianas usando (a):
Os versores esféricos podem ser obtidos como derivadas parciais normalizadas:
(já normalizado porque
tem módulo 1),
,
. Calculando essas derivadas obtemos os componentes:
Verificação rápida (intuição):
aponta radialmente;
aponta na direção de aumento de
(para baixo em direção ao equador se
aumenta);
é tangente ao círculo de constante
(direção azimutal), e é unitário e ortogonal aos outros dois. Essas três são ortonormais e obedecem as regras do produto vetorial cíclico.
Passo 4
(c) Taxas de variação temporal dos versores
.
Supondo que
, aplicamos a regra da cadeia às expressões dos versores do Passo 3. É mais simples usar as derivadas parciais (como aula rápida: derivada total de um versor depende de
e
porque eles variam no tempo).
Usando
e
, obtemos
Para
, usamos
e
, o que dá
Para
, temos
, então
Comentário rápido de entendimento: as variações temporais dos versores são combinações lineares dos outros versores — isso mostra que a base é não-inercial (muda de direção quando
ou
mudam).
Passo 5
(d) Vetor posição
, velocidade
, e aceleração
, com interpretação das componentes.
Posição: em coordenadas esféricas a posição é simplesmente
Isto é intuitivo: comprimento radial vezes direção radial.
Velocidade: derivamos
usando produto de função escalar por versor variável:
Substituindo
do Passo 4:
Interpretação das componentes:
-
é a velocidade radial (taxa de mudança do módulo ); -
é a velocidade tangencial na direção polar (variação de gera movimento sobre um círculo de raio ); -
é a velocidade tangencial azimutal (variação de gera movimento sobre um círculo de raio ).
Aceleração: derivando
e usando as derivadas dos versores:
É mais claro recolher termos e usar as identidades do Passo 4; o resultado padrão (elegante) é:
Interpretação física:
- Componente radial
: é aceleração radial pura; os termos subtraídos são acelerações centrífugas/tangenciais que reduzem a componente radial quando há variação angular. - Componente polar (θ): há contribuição da aceleração angular
, mais um termo de correção (força de Coriolis associada à mudança de base), menos um termo relacionado à rotação em que mistura ângulos. - Componente azimutal (φ): tem termo
(variação angular em φ), termos de “Coriolis” e .
Passo 6
(e) Momento angular clássico
em coordenadas esféricas.
Usando
e
do Passo 5:
Termos com
anulam-se; restam:
Usando
e
obtém-se:
Interpretação: momento angular tem apenas componentes angulares (não tem componente radial), combinando as velocidades angulares ponderadas por
.
Passo 7
(f) Operador nabla
em coordenadas esféricas.
Rápida explicação: o operador
em coordenadas curvilíneas com fatores escala
(aqui
) toma a forma padrão. O gradiente de um escalar
é
Portanto, como operador vetorial:
Observação: este é o operador gradiente; outras formas como divergente ou laplaciano exigem fatores adicionais, mas o enunciado pedia o
(operador de gradiente), então entregamos esta forma.
Passo 8
(g) Operador momento angular quântico
em coordenadas esféricas.
Primeiro, nota: quando aplicamos
usando a forma de
do Passo 7, o resultado atua apenas nas derivadas angulares (pois os termos com
cancelam ao formar o produto vetorial com
). As componentes cartesianas clássicas transformam-se, e as formas usuais em coordenadas angulares são:
componentes do operador (formas tradicionais e úteis):
Explicação rápida:
é simples porque rotações em torno do eixo
correspondem a variações de
. Os sinais e fatores
aparecem das transformações de
para
e da geometria esférica.
Também é muito útil a forma do quadrado do momento angular (operador
), que aparece frequentemente na QM:
Se quisermos a forma vetorial em base esférica (apenas para interpretação), note que
age apenas nas direções tangenciais; em termos dos operadores diferenciais acima podemos escrever formalmente
mas a forma prática e amplamente usada são as componentes
e
dadas acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
e
e