(25 pts.) Suponha a transformação do sistema de coordenadas cartesiano ( x, y, z ) para o sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) :
\left\{\begin{array}{c} x=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right) \\\ y=u v \\\ z=z \end{array}\right.
(a) Determine equações para as superfícies constantes u=c t e, v=c t e e z=c t e. Que regiões elas representam?
(b) Determine os fatores de conversão destas coordenadas.
(c) Determine os novos versores neste sistema de coordenadas em função dos versores cartesianos. Eles são ortogonais?
(d) Determine o elemento de linha d s^{2} e o elemento de volume d V neste sistema de coordenadas.
(e) Determine os operadores gradiente, divergente e rotacional neste novo sistema de coordenadas.
Passo 1
Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, pra gente não se perder.
Perguntas (a)–(e):
(a) Escrever as equações das superfícies de coordenada \,u=\text{cte},\;v=\text{cte},\;z=\text{cte}\, e dizer que regiões/superfícies elas representam.
(b) Determinar os fatores de conversão (os scale factors) \,h_u,h_v,h_z.
(c) Determinar os novos versores \,\hat{e}_u,\hat{e}_v,\hat{e}_z\, em função dos versores cartesianos e verificar se são ortogonais.
(d) Determinar o elemento de linha d s^{2} e o elemento de volume d V.
(e) Determinar as expressões dos operadores gradiente, divergente e rotacional nesse sistema de coordenadas.
Observações: não vou resolver nada aqui, apenas listei o que precisamos obter. A partir do próximo passo começo a calcular passo a passo.]
Passo 2
Vamos analisar as superfícies de coordenada, eliminando parâmetros quando necessário.
Isso é a equação, em x,y, de uma parábola com vértice em \bigl(x=\tfrac{u_0^{2}}{2},y=0\bigr) e eixo na direção x. Variação de v percorre essa parábola; a superfície no espaço é uma parábola extrudada ao longo de z (uma “cilíndrica parabólica”).
Superfície v=v_0= constante (varia u,z):
Similarmente, y=u v_0\Rightarrow u=\dfrac{y}{v_0} (quando v_0\neq0). Substituindo em x:
Também é uma parábola com vértice em \bigl(x=-\tfrac{v_0^{2}}{2},y=0\bigr) (repare o sinal); a superfície é outra família de parabolóides cilíndricos (parabólicas) que são, em geral, conjugadas à família u=cte.
Superfície z=z_0= constante:
É simplesmente o plano horizontal z=z_0.
Resumo geométrico (respondo de forma direta aqui para fixar a intuição):
u=cte e v=cte são famílias de parabolas no plano xy (e cada uma se estende ao longo de z, portanto são superfícies cilíndricas parabólicas). Uma família tem vértices para x>0 e abre-se para a esquerda, a outra tem vértices para x<0 e abre-se para a direita (dependendo do sinal do parâmetro); elas são curvas confocais que cruzam em ângulo reto (veremos a ortogonalidade depois).
z=cte são planos horizontais.
Passo 3
Agora vamos calcular os fatores de escala h_u,h_v,h_z. Vou explicar a ideia: se \mathbf{r}(u,v,z) é o vetor posição, então
Os vetores tangentes às linhas coordenadas são \partial\mathbf{r}/\partial u,\;\partial\mathbf{r}/\partial v,\;\partial\mathbf{r}/\partial z. Os fatores de escala são as normas desses vetores:
Logo os versores são mutuamente ortogonais. Além disso, \hat{e}_u\times\hat{e}_v=\hat{e}_z (com magnitude positiva 1), o que mostra que o sistema é ortonormal e orientado positivamente.
Passo 5
Agora o elemento de linha d\mathbf{r} e d s^{2}. Em coordenadas curvilíneas ortogonais:
Aqui usei a notação \partial_u\Phi=\dfrac{\partial\Phi}{\partial u}, etc.
Passo 8
Operador divergente. Para um campo vetorial \mathbf{A}=A_u\,\hat{e}_u + A_v\,\hat{e}_v + A_z\,\hat{e}_z (componentes em bases locais), a fórmula em coordenadas ortogonais é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum \partial_{q_i}(h_1\cdots\widehat{h_i}\cdots h_3\,A_i) (onde o chapéu indica que h_i foi removido).
Fórmulas do rotacional como usei no passo anterior.
No nosso caso particular substitua h_u=h_v=s e h_z=1 para obter as fórmulas finais que vão direto ao ponto na hora da prova.
Resposta
(a) u=\text{cte}=u_0:\;y=u_0 v,\;\;x=\tfrac{1}{2}\bigl(u_0^{2}-v^{2}\bigr). Eliminando v: \;y^{2}=u_0^{4}-2x u_0^{2}. Representa uma parábola no plano xy (vértice em (\tfrac{u_0^{2}}{2},0)) extrudada em z — uma superfície cilíndrica parabólica. v=\text{cte}=v_0:\;y=uv_0,\;\;x=\tfrac{1}{2}\bigl(u^{2}-v_0^{2}\bigr). Eliminando u: \;y^{2}=2x v_0^{2}+v_0^{4}. Também é uma família de parabolas (outra família de cilíndricas parabólicas). z=\text{cte}:\;z=z_0 é o plano horizontal.