(25 pts.) Suponha a transformação do sistema de coordenadas cartesiano ( x, y, z ) para o sistema de coordenadas cilíndricas parabólicas (u, v, z) :
\left\{\begin{array}{c} x=\frac{1}{2}\left(u^{2}-v^{2}\right) \\\ y=u v \\\ z=z \end{array}\right.
(a) Determine equações para as superfícies constantes u=c t e, v=c t e e z=c t e. Que regiões elas representam?
(b) Determine os fatores de conversão destas coordenadas.
(c) Determine os novos versores neste sistema de coordenadas em função dos versores cartesianos. Eles são ortogonais?
(d) Determine o elemento de linha d s^{2} e o elemento de volume d V neste sistema de coordenadas.
(e) Determine os operadores gradiente, divergente e rotacional neste novo sistema de coordenadas.

Passo 1

Vou organizar o que o enunciado dá e o que pede, pra gente não se perder.
Dados do enunciado:
\left\{\begin{array}{l} x=\dfrac{1}{2}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr)\\[6pt] y=uv\\[4pt] z=z \end{array}\right.
Perguntas (a)–(e):
(a) Escrever as equações das superfícies de coordenada \,u=\text{cte},\;v=\text{cte},\;z=\text{cte}\, e dizer que regiões/superfícies elas representam.
(b) Determinar os fatores de conversão (os scale factors) \,h_u,h_v,h_z.
(c) Determinar os novos versores \,\hat{e}_u,\hat{e}_v,\hat{e}_z\, em função dos versores cartesianos e verificar se são ortogonais.
(d) Determinar o elemento de linha d s^{2} e o elemento de volume d V.
(e) Determinar as expressões dos operadores gradiente, divergente e rotacional nesse sistema de coordenadas.
Observações: não vou resolver nada aqui, apenas listei o que precisamos obter. A partir do próximo passo começo a calcular passo a passo.]

Passo 2

Vamos analisar as superfícies de coordenada, eliminando parâmetros quando necessário.
Primeiro, mantenha em mente as definições:
x=\tfrac{1}{2}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr),\qquad y=uv.
Superfície u=u_0= constante (varia v,z):
  • Da equação y= u_0 v temos v=\dfrac{y}{u_0} (quando u_0\neq0). Substitindo em x:
x=\tfrac{1}{2}\Bigl(u_0^{2}-\bigl(\tfrac{y}{u_0}\bigr)^{2}\Bigr).
Multiplicando por 2u_0^{2}:
2x u_0^{2}=u_0^{4}-y^{2}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=u_0^{4}-2x u_0^{2}.
Isso é a equação, em x,y, de uma parábola com vértice em \bigl(x=\tfrac{u_0^{2}}{2},y=0\bigr) e eixo na direção x. Variação de v percorre essa parábola; a superfície no espaço é uma parábola extrudada ao longo de z (uma “cilíndrica parabólica”).
Superfície v=v_0= constante (varia u,z):
  • Similarmente, y=u v_0\Rightarrow u=\dfrac{y}{v_0} (quando v_0\neq0). Substituindo em x:
x=\tfrac{1}{2}\Bigl(\bigl(\tfrac{y}{v_0}\bigr)^{2}-v_0^{2}\Bigr).
Multiplicando por 2v_0^{2}:
2x v_0^{2}=y^{2}-v_0^{4}\quad\Longrightarrow\quad y^{2}=2x v_0^{2}+v_0^{4}.
Também é uma parábola com vértice em \bigl(x=-\tfrac{v_0^{2}}{2},y=0\bigr) (repare o sinal); a superfície é outra família de parabolóides cilíndricos (parabólicas) que são, em geral, conjugadas à família u=cte.
Superfície z=z_0= constante:
  • É simplesmente o plano horizontal z=z_0.
Resumo geométrico (respondo de forma direta aqui para fixar a intuição):
  • u=cte e v=cte são famílias de parabolas no plano xy (e cada uma se estende ao longo de z, portanto são superfícies cilíndricas parabólicas). Uma família tem vértices para x>0 e abre-se para a esquerda, a outra tem vértices para x<0 e abre-se para a direita (dependendo do sinal do parâmetro); elas são curvas confocais que cruzam em ângulo reto (veremos a ortogonalidade depois).
  • z=cte são planos horizontais.

Passo 3

Agora vamos calcular os fatores de escala h_u,h_v,h_z. Vou explicar a ideia: se \mathbf{r}(u,v,z) é o vetor posição, então
\mathbf{r}=\;x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k} =\tfrac{1}{2}\bigl(u^{2}-v^{2}\bigr)\,\hat{\imath}+uv\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
Os vetores tangentes às linhas coordenadas são \partial\mathbf{r}/\partial u,\;\partial\mathbf{r}/\partial v,\;\partial\mathbf{r}/\partial z. Os fatores de escala são as normas desses vetores:
h_u=\Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\Bigr\rVert,\qquad h_v=\Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Bigr\rVert,\qquad h_z=\Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}\Bigr\rVert.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}=(\partial_u x,\partial_u y,\partial_u z) =(u,\;v,\;0),
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}=(\partial_v x,\partial_v y,\partial_v z) =(-v,\;u,\;0),
\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}=(0,\;0,\;1).
Normas:
\Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\Bigr\rVert =\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad \Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\Bigr\rVert =\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad \Bigl\lVert\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}\Bigr\rVert=1.
Portanto os fatores de conversão são
h_u=h_v=\sqrt{u^{2}+v^{2}},\qquad h_z=1.
Interpretação rápida: as escalas em u e v são iguais e dependem da distância s:=\sqrt{u^{2}+v^{2}} no plano uv.

Passo 4

Agora determinamos os versores (versores unitários) locais \hat{e}_u,\hat{e}_v,\hat{e}_z. A regra é
\hat{e}_u=\frac{1}{h_u}\,\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u},\qquad \hat{e}_v=\frac{1}{h_v}\,\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v},\qquad \hat{e}_z=\frac{1}{h_z}\,\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}.
Com s:=\sqrt{u^{2}+v^{2}} e usando os resultados do passo anterior:
\hat{e}_u=\frac{1}{s}\bigl(u\,\hat{\imath}+v\,\hat{\jmath}\bigr), \qquad \hat{e}_v=\frac{1}{s}\bigl(-v\,\hat{\imath}+u\,\hat{\jmath}\bigr), \qquad \hat{e}_z=\hat{k}.
Verificação de ortogonalidade: calcule os produtos escalares
\hat{e}_u\cdot\hat{e}_v=\frac{1}{s^{2}}\bigl(u(-v)+v u\bigr)=0, \quad \hat{e}_u\cdot\hat{e}_z=0, \quad \hat{e}_v\cdot\hat{e}_z=0.
Logo os versores são mutuamente ortogonais. Além disso, \hat{e}_u\times\hat{e}_v=\hat{e}_z (com magnitude positiva 1), o que mostra que o sistema é ortonormal e orientado positivamente.

Passo 5

Agora o elemento de linha d\mathbf{r} e d s^{2}. Em coordenadas curvilíneas ortogonais:
d\mathbf{r}=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial u}\,du+\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial v}\,dv+\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z}\,dz
e
ds^{2}=h_u^{2}\,du^{2}+h_v^{2}\,dv^{2}+h_z^{2}\,dz^{2}.
Usando h_u=h_v=s e h_z=1:
ds^{2}=(u^{2}+v^{2})\bigl(du^{2}+dv^{2}\bigr)+dz^{2}.
Também podemos escrever explicitamente
d\mathbf{r}=u\,du\,\hat{\imath}+v\,du\,\hat{\jmath}-v\,dv\,\hat{\imath}+u\,dv\,\hat{\jmath}+dz\,\hat{k},
mas a forma mais útil é a métrica diagonal dada acima.

Passo 6

Elemento de volume dV. Para coordenadas curvilíneas ortogonais:
dV=h_u h_v h_z\,du\,dv\,dz.
Com h_u=h_v=s e h_z=1 obtemos
dV=(u^{2}+v^{2})\,du\,dv\,dz.
Nota: a jacobiana da transformação (u,v,z)\mapsto(x,y,z) é J=h_u h_v h_z=(u^{2}+v^{2}).

Passo 7

Operador gradiente. Em coordenadas ortogonais a expressão padrão para o gradiente de um escalar \Phi(u,v,z) é
\nabla\Phi=\sum_{i}\frac{1}{h_i}\frac{\partial\Phi}{\partial q_i}\,\hat{e}_i.
Aqui q_1=u,\,q_2=v,\,q_3=z e h_u=h_v=s, h_z=1. Assim:
\nabla\Phi=\frac{1}{s}\frac{\partial\Phi}{\partial u}\,\hat{e}_u +\frac{1}{s}\frac{\partial\Phi}{\partial v}\,\hat{e}_v +\frac{\partial\Phi}{\partial z}\,\hat{e}_z.
Se quisermos escrever \nabla\Phi nos versores cartesianos, substituímos \hat{e}_u,\hat{e}_v:
\nabla\Phi=\frac{1}{s^{2}}\Bigl[\bigl(u\,\partial_u\Phi - v\,\partial_v\Phi\bigr)\hat{\imath} +\bigl(v\,\partial_u\Phi + u\,\partial_v\Phi\bigr)\hat{\jmath}\Bigr] +\partial_z\Phi\,\hat{k}.
Aqui usei a notação \partial_u\Phi=\dfrac{\partial\Phi}{\partial u}, etc.

Passo 8

Operador divergente. Para um campo vetorial \mathbf{A}=A_u\,\hat{e}_u + A_v\,\hat{e}_v + A_z\,\hat{e}_z (componentes em bases locais), a fórmula em coordenadas ortogonais é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\Bigg[ \frac{\partial}{\partial q_1}\bigl(h_2 h_3 A_1\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_2}\bigl(h_3 h_1 A_2\bigr) +\frac{\partial}{\partial q_3}\bigl(h_1 h_2 A_3\bigr) \Bigg].
Com h_u=h_v=s,\;h_z=1 e h_1 h_2 h_3=s^{2} obtemos:
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{s^{2}}\Biggl[ \frac{\partial}{\partial u}\bigl(s A_u\bigr) +\frac{\partial}{\partial v}\bigl(s A_v\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(s^{2} A_z\bigr) \Biggr].
Explicando: as quantidades A_u,A_v,A_z são as componentes do campo vetorial na base ortonormal \hat{e}_u,\hat{e}_v,\hat{e}_z.

Passo 9

Operador rotacional (curl). Para coordenadas ortogonais, as componentes de \nabla\times\mathbf{A} na base local são (forma padrão):
(\nabla\times\mathbf{A})_1=\frac{1}{h_2 h_3}\Bigl[\partial_{q_2}(h_3 A_3)-\partial_{q_3}(h_2 A_2)\Bigr],
(\nabla\times\mathbf{A})_2=\frac{1}{h_3 h_1}\Bigl[\partial_{q_3}(h_1 A_1)-\partial_{q_1}(h_3 A_3)\Bigr],
(\nabla\times\mathbf{A})_3=\frac{1}{h_1 h_2}\Bigl[\partial_{q_1}(h_2 A_2)-\partial_{q_2}(h_1 A_1)\Bigr].
Identificando q_1=u,q_2=v,q_3=z e substituindo h_u=h_v=s,h_z=1:
Primeira componente (na direção \hat{e}_u):
(\nabla\times\mathbf{A})_u=\frac{1}{s\cdot 1}\Bigl[\partial_v(1\cdot A_z)-\partial_z(s\cdot A_v)\Bigr] =\frac{1}{s}\Bigl[\partial_v A_z-\partial_z(s A_v)\Bigr].
Segunda componente (na direção \hat{e}_v):
(\nabla\times\mathbf{A})_v=\frac{1}{1\cdot s}\Bigl[\partial_z(s\cdot A_u)-\partial_u(1\cdot A_z)\Bigr] =\frac{1}{s}\Bigl[\partial_z(s A_u)-\partial_u A_z\Bigr].
Terceira componente (na direção \hat{e}_z):
(\nabla\times\mathbf{A})_z=\frac{1}{s\cdot s}\Bigl[\partial_u(s\cdot A_v)-\partial_v(s\cdot A_u)\Bigr] =\frac{1}{s^{2}}\Bigl[\partial_u(s A_v)-\partial_v(s A_u)\Bigr].
Assim o rotacional é
\nabla\times\mathbf{A}=\Bigl(\tfrac{1}{s}[\partial_v A_z-\partial_z(sA_v)]\Bigr)\hat{e}_u +\Bigl(\tfrac{1}{s}[\partial_z(sA_u)-\partial_u A_z]\Bigr)\hat{e}_v +\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}[\partial_u(sA_v)-\partial_v(sA_u)]\Bigr)\hat{e}_z.

Passo 10

Pequeno resumo didático e exemplos para fixar:
  • Sempre que você trabalhar em um sistema ortogonal com coordenadas q_i e fatores h_i, lembr:
    • ds^{2}=\sum h_i^{2}dq_i^{2}.
    • dV=\prod h_i\,dq_1 dq_2 dq_3.
    • \nabla\Phi=\sum \dfrac{1}{h_i}\partial_{q_i}\Phi\,\hat{e}_i.
    • \nabla\cdot\mathbf{A}=\dfrac{1}{h_1h_2h_3}\sum \partial_{q_i}(h_1\cdots\widehat{h_i}\cdots h_3\,A_i) (onde o chapéu indica que h_i foi removido).
    • Fórmulas do rotacional como usei no passo anterior.
No nosso caso particular substitua h_u=h_v=s e h_z=1 para obter as fórmulas finais que vão direto ao ponto na hora da prova.

Resposta

(a) u=\text{cte}=u_0:\;y=u_0 v,\;\;x=\tfrac{1}{2}\bigl(u_0^{2}-v^{2}\bigr). Eliminando v: \;y^{2}=u_0^{4}-2x u_0^{2}. Representa uma parábola no plano xy (vértice em (\tfrac{u_0^{2}}{2},0)) extrudada em z — uma superfície cilíndrica parabólica.
v=\text{cte}=v_0:\;y=uv_0,\;\;x=\tfrac{1}{2}\bigl(u^{2}-v_0^{2}\bigr). Eliminando u: \;y^{2}=2x v_0^{2}+v_0^{4}. Também é uma família de parabolas (outra família de cilíndricas parabólicas).
z=\text{cte}:\;z=z_0 é o plano horizontal.
(b) Fatores de conversão:
h_u=h_v=\sqrt{u^{2}+v^{2}}=:s,\qquad h_z=1.
(c) Versores locais em função dos cartesianos:
\hat{e}_u=\frac{1}{s}\bigl(u\,\hat{\imath}+v\,\hat{\jmath}\bigr),\qquad \hat{e}_v=\frac{1}{s}\bigl(-v\,\hat{\imath}+u\,\hat{\jmath}\bigr),\qquad \hat{e}_z=\hat{k}.
Eles são ortogonais ( \hat{e}_u\cdot\hat{e}_v=0, etc.).
(d) Elemento de linha e elemento de volume:
ds^{2}=(u^{2}+v^{2})\bigl(du^{2}+dv^{2}\bigr)+dz^{2}, \qquad dV=(u^{2}+v^{2})\,du\,dv\,dz.
(e) Operadores (para \,s=\sqrt{u^{2}+v^{2}}\,):
Gradiente de um escalar \Phi:
\nabla\Phi=\frac{1}{s}\partial_{u}\Phi\,\hat{e}_u+\frac{1}{s}\partial_{v}\Phi\,\hat{e}_v+\partial_{z}\Phi\,\hat{e}_z,
ou em componentes cartesianas
\nabla\Phi=\frac{1}{s^{2}}\Bigl[(u\,\partial_{u}\Phi - v\,\partial_{v}\Phi)\hat{\imath}+(v\,\partial_{u}\Phi + u\,\partial_{v}\Phi)\hat{\jmath}\Bigr]+\partial_{z}\Phi\,\hat{k}.
Divergente de \mathbf{A}=A_u\hat{e}_u+A_v\hat{e}_v+A_z\hat{e}_z:
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{s^{2}}\Bigl[\partial_{u}(s A_u)+\partial_{v}(s A_v)+\partial_{z}(s^{2} A_z)\Bigr].
Rotacional de \mathbf{A}:
\nabla\times\mathbf{A}=\Bigl(\tfrac{1}{s}[\partial_{v}A_z-\partial_{z}(sA_v)]\Bigr)\hat{e}_u +\Bigl(\tfrac{1}{s}[\partial_{z}(sA_u)-\partial_{u}A_z]\Bigr)\hat{e}_v +\Bigl(\tfrac{1}{s^{2}}[\partial_{u}(sA_v)-\partial_{v}(sA_u)]\Bigr)\hat{e}_z.

Exercícios relacionados