Calcule as derivadas:
(1,25 \mathrm{pts}) y=x^{2} e^{-x / 2}

Passo 1

O enunciado dá a função y = x^{2} e^{-x/2} e pede para calcular a derivada de y em relação a x. As informações relevantes são:
  • A função é o produto de duas funções de x: x^{2} e e^{-x/2}.
  • Quer-se y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (mini-aula rápida, passo a passo):
  • Regra do produto: se y = u(x)\,v(x), então
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) significa a derivada de u em relação a x, e o mesmo para v'(x).
  • Derivada de potência (polinômio simples): se u(x)=x^{n} com n constante, então
u'(x)=n x^{n-1}.
Exemplo rápido: se u(x)=x^{2} então u'(x)=2x.
  • Regra da cadeia para exponenciais: se v(x)=e^{g(x)}, então
v'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.
Aqui g'(x) é a derivada da função g. Exemplo: se v(x)=e^{-x/2} e g(x)=-\tfrac{x}{2}, então g'(x)=-\tfrac{1}{2} e v'(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-x/2}.
Essas são as ferramentas; agora aplicamos passo a passo.

Passo 3

Separe as partes do produto definindo
u(x)=x^{2},\qquad v(x)=e^{-x/2}.
Calcule u'(x) usando a regra da potência:
u'(x)=2x.

Passo 4

Calcule v'(x) usando regra da cadeia. Tome g(x)=-\dfrac{x}{2}, então v(x)=e^{g(x)} e
g'(x)=-\tfrac{1}{2}.
Portanto, pela regra da cadeia,
v'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}=-\tfrac{1}{2}\,e^{-x/2}.

Passo 5

Agora aplique a regra do produto:
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u, u', v, v' encontramos
y' = (2x)\,e^{-x/2} + x^{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-x/2}\right).

Passo 6

Simplifique fatorando o fator comum e^{-x/2}:
y' = e^{-x/2}\left(2x - \tfrac{1}{2}x^{2}\right).
Fatorando x e escrevendo de forma mais compacta:
y' = e^{-x/2}\,x\left(2 - \tfrac{x}{2}\right).
Multiplicando por 2/2 para deixar numa forma inteira no numerador:
y' = \frac{x(4 - x)}{2}\,e^{-x/2}.

Resposta

y'=\frac{x(4 - x)}{2}\,e^{-x/2}

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