Calcule as derivadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada de
em relação a
. As informações relevantes são:
- A função é o produto de duas funções de
: e . - Quer-se
.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (mini-aula rápida, passo a passo):
- Regra do produto: se
, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
, e o mesmo para
.
- Derivada de potência (polinômio simples): se
com constante, então
Exemplo rápido: se
então
.
- Regra da cadeia para exponenciais: se
, então
Aqui
é a derivada da função
. Exemplo: se
e
, então
e
.
Essas são as ferramentas; agora aplicamos passo a passo.
Passo 3
Separe as partes do produto definindo
Calcule
usando a regra da potência:
Passo 4
Calcule
usando regra da cadeia. Tome
, então
e
Portanto, pela regra da cadeia,
Passo 5
Agora aplique a regra do produto:
Substituindo
encontramos
Passo 6
Simplifique fatorando o fator comum
:
Fatorando
e escrevendo de forma mais compacta:
Multiplicando por
para deixar numa forma inteira no numerador: