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Resolva o problema de valor inicial (PVI)
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Vamos escolher um método: esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
Não vou complicar: para esse tipo a técnica mais direta é o fator integrante (ou fator integrante). A ideia é multiplicar a equação por uma função
de modo que o lado esquerdo vire a derivada de
. Depois integramos. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Identificamos
e
comparando com a forma padrão. No nosso caso
Passo 4
O fator integrante
é dado por
Aqui
, então
Breve explicação: escolher
garante que
, e isso é a chave para escrever
como a derivada de
.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Agora note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, porque pela regra do produto
Logo podemos escrever a equação como
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Explico: integrar a derivada recupera a função (até constante).
Passo 7
Isolamos
multiplicando por
:
Isto já é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial).
Passo 8
Usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
:
Passo 9
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
Vamos fazer uma checagem rápida: calcule
. Usando regra do produto,
Logo
que bate com a equação original, e
, logo tudo está consistente.