1. (1,25) Resolva o problema de valor inicial (PVI) y^{\prime}-y=e^{x}, y(1)=0.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y' - y = e^{x},\qquad y(1)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Vamos escolher um método: esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
y' + p(x)y = q(x).
Não vou complicar: para esse tipo a técnica mais direta é o fator integrante (ou fator integrante). A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) de modo que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y(x). Depois integramos. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Identificamos p(x) e q(x) comparando com a forma padrão. No nosso caso
y' - y = e^{x}\quad\Longrightarrow\quad p(x) = -1,\qquad q(x)=e^{x}.

Passo 4

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Aqui p(x)=-1, então
\mu(x)=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Breve explicação: escolher \mu=e^{\int p} garante que \mu' = p\mu, e isso é a chave para escrever \mu y' + \mu' y como a derivada de \mu y.

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}. Fazendo isso obtemos
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x}e^{x}=1.
Agora note que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-x}y, porque pela regra do produto
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y.
Logo podemos escrever a equação como
\bigl(e^{-x}y\bigr)' = 1.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-x}y\bigr)'\,dx = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}y = x + C,
onde C é a constante de integração. Explico: integrar a derivada recupera a função (até constante).

Passo 7

Isolamos y multiplicando por e^{x}:
y(x)=e^{x}(x + C).
Isto já é a solução geral da equação diferencial (antes de usar a condição inicial).

Passo 8

Usamos a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituindo x=1:
0 = y(1)=e^{1}(1 + C)\quad\Longrightarrow\quad 1 + C = 0\quad\Longrightarrow\quad C = -1.

Passo 9

Substituindo C=-1 na solução geral obtemos a solução particular do PVI:
y(x)=e^{x}(x-1).
Vamos fazer uma checagem rápida: calcule y'. Usando regra do produto,
y'(x)=\bigl(e^{x}(x-1)\bigr)'=e^{x}(x-1)+e^{x}\cdot 1 = e^{x}x.
Logo
y'-y = e^{x}x - e^{x}(x-1) = e^{x},
que bate com a equação original, e y(1)=e^{1}(1-1)=0, logo tudo está consistente.

Resposta

y(x)=e^{x}(x-1)

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