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Encontre a solução geral da
.
Passo 1
O enunciado pede: “Encontre a solução geral da
.”
Informações que temos:
é a função desconhecida de uma variável (vamos chamar de
).
A equação diferencial é de segunda ordem e tem coeficientes constantes.
O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de todas as funções que satisfazem essa equação (geralmente escrita com duas constantes arbitrárias).
Informações que temos:
A equação diferencial é de segunda ordem e tem coeficientes constantes.
O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de todas as funções
Passo 2
Método escolhido (explico o porquê passo a passo): para equações lineares de ordem 2 com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial
, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso transforma a EDO numa equação algébrica para
. Substituindo
na equação temos:
Substituindo na EDO:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica. Ela é um quadrático simples; fatorando:
Logo
é uma raiz dupla (multiplicidade 2).
Passo 4
Quando a equação característica tem uma raiz real dupla
(multiplicidade 2), as soluções independentes da EDO homogênea são
Portanto, no nosso caso (
), as duas soluções independentes são
e
. A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções com constantes arbitrárias:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 5
Verificação rápida (para você saber como checar na prova): calcule
para
usando regra do produto e substitua na equação:
Agora forme
, coloque tudo sobre o fator comum
e some os coeficientes; você encontra
. Ou seja, a solução encontrada satisfaz a EDO, como deve ser.
Passo 6
Recapitulando de modo motivador: tentamos
, achamos a equação característica com raiz dupla
, daí as soluções independentes foram
e
, e a combinação linear delas dá a solução geral. Você já fez a parte pesada — na prova, só escreva isso de forma organizada e, se quiser, faça a verificação rápida como eu mostrei.