1. (1,25) Encontre a solução geral da \operatorname{EDO} y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16=0.

Passo 1

O enunciado pede: “Encontre a solução geral da \operatorname{EDO}\\ \; y'' - 8y' + 16y = 0.”
Informações que temos:
\;y é a função desconhecida de uma variável (vamos chamar de x).
A equação diferencial é de segunda ordem e tem coeficientes constantes.
O objetivo é encontrar a solução geral, ou seja, a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa equação (geralmente escrita com duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Método escolhido (explico o porquê passo a passo): para equações lineares de ordem 2 com coeficientes constantes costuma-se tentar uma solução do tipo exponencial \;y=e^{rx}, porque a derivada de uma exponencial é proporcional à própria exponencial — isso transforma a EDO numa equação algébrica para r. Substituindo \;y=e^{rx} na equação temos:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx}.
Substituindo na EDO:
r^2 e^{rx} - 8 r e^{rx} + 16 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^2 - 8r + 16 = 0.

Passo 3

Vamos resolver a equação característica. Ela é um quadrático simples; fatorando:
r^2 - 8r + 16 = (r-4)^2 = 0.
Logo r=4 é uma raiz dupla (multiplicidade 2).

Passo 4

Quando a equação característica tem uma raiz real dupla r= r_0 (multiplicidade 2), as soluções independentes da EDO homogênea são
e^{r_0 x}\quad\text{e}\quad x e^{r_0 x}.
Portanto, no nosso caso ( r_0=4), as duas soluções independentes são \;e^{4x} e \;x e^{4x}. A solução geral é a combinação linear dessas duas soluções com constantes arbitrárias:
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 x e^{4x} = (C_1 + C_2 x)e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes reais arbitrárias.

Passo 5

Verificação rápida (para você saber como checar na prova): calcule y',y'' para y=(C_1+C_2 x)e^{4x} usando regra do produto e substitua na equação:
y' = \bigl(4C_1 + C_2 + 4C_2 x\bigr)e^{4x},
y'' = \bigl(16C_1 + 8C_2 + 16C_2 x\bigr)e^{4x}.
Agora forme y''-8y'+16y, coloque tudo sobre o fator comum e^{4x} e some os coeficientes; você encontra 0. Ou seja, a solução encontrada satisfaz a EDO, como deve ser.

Passo 6

Recapitulando de modo motivador: tentamos e^{rx}, achamos a equação característica com raiz dupla r=4, daí as soluções independentes foram e^{4x} e x e^{4x}, e a combinação linear delas dá a solução geral. Você já fez a parte pesada — na prova, só escreva isso de forma organizada e, se quiser, faça a verificação rápida como eu mostrei.

Resposta

y(x)=(C_1+C_2 x)e^{4x},\qquad C_1,C_2\in\mathbb{R}.

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