1. Verifique que a edo (2 x-y+1) d x+(2 y-x+3) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x - y + 1)\,dx + (2y - x + 3)\,dy = 0
e pede duas coisas: verificar que essa equação é exata e resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução geral implícita).\n
Informações extraídas do enunciado:
M(x,y)=2x - y + 1,
N(x,y)=2y - x + 3.
É isso que sabemos. A resolução começa agora.

Passo 2

O que significa “exata” e como verificar?\n
Uma equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é exata se existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Agora calculamos as derivadas parciais dadas M e N.

Passo 3

Calculemos \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} e \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}.\n
Como \displaystyle M(x,y)=2x - y + 1, ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial M}{\partial y} = -1.
Como \displaystyle N(x,y)=2y - x + 3, ao derivar em relação a x tratamos y como constante:
\frac{\partial N}{\partial x} = -1.
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = -1 = \frac{\partial N}{\partial x}, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a equação é exata — bom sinal!

Passo 4

Agora vamos achar a função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x=M e \psi_y=N.\n
Integramos M em relação a x (tratando y como constante):
\psi(x,y)=\int (2x - y + 1)\,dx = \int 2x\,dx - \int y\,dx + \int 1\,dx.
Fazendo as integrais termo a termo:
\int 2x\,dx = x^2,\quad \int y\,dx = xy,\quad \int 1\,dx = x.
Como a integração em x pode introduzir uma função arbitrária de y, escrevemos
\psi(x,y)=x^2 - xy + x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida que depende só de y.

Passo 5

Determinamos h(y) impondo \psi_y = N.\n
Calculemos \psi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \psi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - xy + x + h(y)\bigr) = -x + h'(y).
Devemos ter \psi_y = N = 2y - x + 3. Igualando:
-x + h'(y) = 2y - x + 3.
Cancelando -x dos dois lados fica
h'(y)=2y+3.
Integramos em relação a y:
h(y)=\int (2y+3)\,dy = y^2 + 3y + C_0,
onde C_0 é constante. Podemos incorporar C_0 na constante final da solução implícita, então tomamos
h(y)=y^2+3y
para escrever a função potencial sem perda de generalidade.

Passo 6

Escrevendo \psi(x,y) com h(y) encontrado:
\psi(x,y)=x^2 - xy + x + y^2 + 3y.
A solução geral implícita da equação exata é dada por
\psi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Em outras palavras, a família de curvas definidas por \psi(x,y)=C são as soluções gerais da EDO.

Resposta

x^2 - xy + x + y^2 + 3y = C

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