- Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: verificar que essa equação é exata e resolvê‑la (ou seja, encontrar a solução geral implícita).\n
Informações extraídas do enunciado:
Informações extraídas do enunciado:
É isso que sabemos. A resolução começa agora.
Passo 2
O que significa “exata” e como verificar?\n
Uma equação diferencial na forma
Uma equação diferencial na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é
Agora calculamos as derivadas parciais dadas
e
.
Passo 3
Calculemos
e
.\n
Como , ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Como
Como
, ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a equação é exata — bom sinal!
Passo 4
Agora vamos achar a função potencial
tal que
e
.\n
Integramos em relação a
(tratando
como constante):
Integramos
Fazendo as integrais termo a termo:
Como a integração em
pode introduzir uma função arbitrária de
, escrevemos
onde
é uma função desconhecida que depende só de
.
Passo 5
Determinamos
impondo
.\n
Calculemos a partir da expressão encontrada:
Calculemos
Devemos ter
. Igualando:
Cancelando
dos dois lados fica
Integramos em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporar
na constante final da solução implícita, então tomamos
para escrever a função potencial sem perda de generalidade.
Passo 6
Escrevendo
com
encontrado:
A solução geral implícita da equação exata é dada por
onde
é constante arbitrária. Em outras palavras, a família de curvas definidas por
são as soluções gerais da EDO.