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Sabendo que
e
são soluções da EDO
encontre a solução geral de (1).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de quarta ordem
e informa que
e
são soluções. A tarefa é encontrar a solução geral da equação diferencial, ou seja, uma expressão que contenha quatro constantes arbitrárias e que represente todo o espaço de soluções.
Informações relevantes:
Passo 2
Ideia teórica (passo-a-passo didático): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
onde
é um número (possível raiz do polinômio característico). Isso funciona porque derivadas de
são múltiplos de
:
Substituindo essas expressões na EDO, o fator comum
(não nulo) pode ser cancelado, sobrando um polinômio em
— o polinômio característico. As raízes desse polinômio dão as exponenciais
que são soluções. Se uma raiz
tem multiplicidade
, as soluções associadas são
No nosso caso, usaremos esse procedimento para obter o polinômio característico e suas raízes.
Passo 3
Formamos o polinômio característico substituindo as potências de
nas derivadas. Assim temos
Este é o polinômio característico correspondente à EDO dada.
Passo 4
Usamos a informação das soluções conhecidas:
e
correspondem às raízes
e
do polinômio característico. Logo
e
são fatores do polinômio. Calculamos o produto desses dois fatores:
Passo 5
Dividimos o polinômio característico por
para encontrar o fator quadrático restante. Vou fazer a divisão em dois passos (dividindo primeiro por
e depois por
), o que é simples e explícito.
Divisão por
(síntese):
Coeficientes do polinômio original: .
Aplicando :
Coeficientes do polinômio original:
Aplicando
O resto é
(como esperado) e o quociente é
.
Agora dividimos
por
(síntese com
):
Coeficientes: .
Coeficientes:
O resto é
e o quociente é
, ou simplesmente
.
Portanto a fatoração completa do polinômio característico é
Passo 6
Encontramos as raízes do fator restante
. Resolvendo:
Essas duas raízes são reais e distintas. Assim o polinômio característico tem as quatro raízes distintas
Passo 7
Como todas as raízes são reais e simples (multiplicidade
), as quatro soluções independentes associadas são
A solução geral de uma EDO linear homogênea é a combinação linear dessas soluções independentes com constantes arbitrárias. Portanto a solução geral é
onde
são constantes reais arbitrárias.