1. (1,25) Sabendo que y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2 x} são soluções da EDO
y^{(4)}-3 y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}-6 y=0
encontre a solução geral de (1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de quarta ordem
y^{(4)}-3y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-6y=0
e informa que y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2x} são soluções. A tarefa é encontrar a solução geral da equação diferencial, ou seja, uma expressão que contenha quatro constantes arbitrárias e que represente todo o espaço de soluções.
Informações relevantes:
\begin{aligned} &\text{EDO: } y^{(4)}-3y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+9y^{\prime}-6y=0,\\\ &\text{Duas soluções conhecidas: } y_{1}(x)=e^{x},\; y_{2}(x)=e^{2x}. \end{aligned}çõ

Passo 2

Ideia teórica (passo-a-passo didático): para uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possível raiz do polinômio característico). Isso funciona porque derivadas de e^{rx} são múltiplos de e^{rx}:
y^{\prime}=r e^{rx},\quad y^{\prime\prime}=r^{2}e^{rx},\quad y^{(3)}=r^{3}e^{rx},\quad y^{(4)}=r^{4}e^{rx}.
Substituindo essas expressões na EDO, o fator comum e^{rx} (não nulo) pode ser cancelado, sobrando um polinômio em r — o polinômio característico. As raízes desse polinômio dão as exponenciais e^{rx} que são soluções. Se uma raiz r tem multiplicidade m, as soluções associadas são
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^{2}e^{rx},\ldots,x^{m-1}e^{rx}.
No nosso caso, usaremos esse procedimento para obter o polinômio característico e suas raízes.

Passo 3

Formamos o polinômio característico substituindo as potências de r nas derivadas. Assim temos
r^{4}-3r^{3}-r^{2}+9r-6=0.
Este é o polinômio característico correspondente à EDO dada.

Passo 4

Usamos a informação das soluções conhecidas: y_{1}(x)=e^{x} e y_{2}(x)=e^{2x} correspondem às raízes r=1 e r=2 do polinômio característico. Logo (r-1) e (r-2) são fatores do polinômio. Calculamos o produto desses dois fatores:
(r-1)(r-2)=r^{2}-3r+2.

Passo 5

Dividimos o polinômio característico por (r^{2}-3r+2) para encontrar o fator quadrático restante. Vou fazer a divisão em dois passos (dividindo primeiro por r-1 e depois por r-2), o que é simples e explícito.
Divisão por r-1 (síntese):
Coeficientes do polinômio original: 1,\,-3,\,-1,\,9,\,-6.
Aplicando r=1:
\begin{array}{r|rrrrr} 1 & 1 & -3 & -1 & 9 & -6\\\ & & 1 & -2 & -3& 6\\hline & 1 & -2 & -3 & 6 & 0 \end{array}
O resto é 0 (como esperado) e o quociente é r^{3}-2r^{2}-3r+6.
Agora dividimos r^{3}-2r^{2}-3r+6 por r-2 (síntese com r=2):
Coeficientes: 1,\,-2,\,-3,\,6.
\begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -2 & -3 & 6\\\ & & 2 & 0 & -6\\hline & 1 & 0 & -3 & 0 \end{array}
O resto é 0 e o quociente é r^{2}+0r-3, ou simplesmente r^{2}-3.
Portanto a fatoração completa do polinômio característico é
r^{4}-3r^{3}-r^{2}+9r-6=(r-1)(r-2)(r^{2}-3).

Passo 6

Encontramos as raízes do fator restante r^{2}-3=0. Resolvendo:
r^{2}-3=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad r=\pm\sqrt{3}.
Essas duas raízes são reais e distintas. Assim o polinômio característico tem as quatro raízes distintas
r=1,\; r=2,\; r=\sqrt{3},\; r=-\sqrt{3}.

Passo 7

Como todas as raízes são reais e simples (multiplicidade 1), as quatro soluções independentes associadas são
e^{x},\; e^{2x},\; e^{\sqrt{3}x},\; e^{-\sqrt{3}x}.
A solução geral de uma EDO linear homogênea é a combinação linear dessas soluções independentes com constantes arbitrárias. Portanto a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{\sqrt{3}x}+C_{4}e^{-\sqrt{3}x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{\sqrt{3}x}+C_{4}e^{-\sqrt{3}x}

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